Có phải tất cả các chuỗi đủ lớn có lặp lại?

Hãy $\Sigma$ có một số tập hữu hạn các ký tự của kích thước cố định. Đặt là một chuỗi trên . Chúng tôi nói rằng một chuỗi con không trống của là lặp lại nếu cho một số chuỗi .$\alpha$$\Sigma$$\beta$$\alpha$$\beta = \gamma \gamma$$\gamma$

Bây giờ, câu hỏi của tôi là liệu sau đây giữ:

Với mỗi , tồn tại một số sao cho với mỗi chuỗi trên có độ dài ít nhất , chứa ít nhất một lần lặp lại.n ∈ N α Σ n $\Sigma$$n \in \mathbb{N}$$\alpha$$\Sigma$$n$$\alpha$

Tôi đã kiểm tra cái này qua bảng chữ cái nhị phân, và điều này khá dễ đối với trường hợp đó, nhưng một bảng chữ cái cỡ 3 thì khó kiểm tra hơn một chút, vì tôi muốn một bằng chứng cho các ngữ pháp lớn tùy ý.

Nếu phỏng đoán trên là đúng, thì tôi có thể (gần như) loại bỏ nhu cầu chèn chuỗi rỗng vào câu hỏi khác của tôi .

Không, tiếc là không. Thậm chí có những từ không có ô vuông vô hạn nếu bảng chữ cái của bạn có ít nhất ba ký hiệu.

Đường viền rõ ràng tự nhiên này (bảng chữ cái hai yếu tố chỉ có nhiều từ không có hình vuông) được quan sát thấy ở nhiều nơi, ví dụ:

• là đồng hữu hạn cho | Σ | ≤ 2 nhưng không bối cảnh miễn phí cho Σ > 2 .$\{xyyz \mid x,y,z\in \Sigma^+\}$$|\Sigma|\leq 2$$\Sigma>2$
• Lớp ngôn ngữ được tạo bởi các mẫu không có đầu cuối có thể được học trong giới hạn nếu nhưng không phải vậy nếu | Σ | = 2 [ Reid2004 ].$|\Sigma|>3$$|\Sigma|=2$