Độ cứng NP của việc tìm một tập hợp con của các đỉnh trong đồ thị có trọng số đỉnh

Đây là nhiệm vụ từ cuộc thi CNTT của Đức ("Bundeswettbewerb Informatik"), nhưng vì thời hạn đã qua, nên việc đặt câu hỏi này không phải là gian lận.

Cho một đồ thị có trọng số đỉnh, hướng và các giá trị , tìm một tập hợp con của các nút để tối đa hóa chủ đề cho $G=(V, E)$ $c_v$ $V_{res}\subseteq V$

\sum_{v \in V_{r e s}} c_{v}

$\sum_{v \in V_{res}} c_v$

Đây có phải là vấn đề NP-hard?

\forall (u, v) \in E : u \in V_{r e s} ⟹ v \in V_{r e s}

$\forall (u,v) \in E: u \in V_{res} \implies v \in V_{res}$

Tôi có thể chứng minh rằng vấn đề nằm ở P nếu mọi nút không có cha mẹ hoặc không có con bằng cách chỉ ra rằng trong trường hợp này, nó có thể được giải quyết bằng Vertex Cover trên các biểu đồ lưỡng cực, nhưng tôi đã thất bại trong việc tìm ra mức giảm chứng minh độ cứng NP của vấn đề ban đầu.

Ai đó có thể cho tôi một gợi ý làm thế nào để làm điều này?

PS: Trong cuộc thi, nhiệm vụ chỉ là tìm một thuật toán giải quyết vấn đề này, định nghĩa ban đầu (tiếng Đức) là nhiệm vụ 1 của tài liệu này: http://www.bundeswettbewerb-informatik.de/fileadmin/temsheet/bwinf/ aufgaben / bwinf35 / aufgaben352.pdf

complexity-theory reductions np-hard

— Trưởng khoa
nguồn

Không mất tính tổng quát, bạn có thể tập trung vào trường hợp của một dag (biểu đồ chu kỳ có hướng). Trong một biểu đồ định hướng chung, phân hủy thành các thành phần được kết nối mạnh mẽ; sau đó bạn sẽ lấy tất cả các nút trong một thành phần hoặc không có nút nào trong số chúng; do đó bạn có thể tạo biểu đồ meta (với một đỉnh cho mỗi thành phần) và giải quyết vấn đề trên biểu đồ meta.

— DW

@DW, tôi giả sử bạn có ý định sắp xếp theo cấu trúc liên kết DAG, nhưng đối với tôi không rõ vì bước tiếp theo của bạn sẽ là gì? Cho mỗi đỉnh trong biểu đồ meta để tính tổng trọng số của tất cả các phần tử của nó?

— Eric_

@Eric_, than ôi, tôi không có bước tiếp theo trong tâm trí. Tôi chỉ nói rằng nếu bạn có thể tìm thấy một thuật toán để giải quyết điều này cho một DAG tùy ý, bạn có thể sử dụng thuật toán đó để giải quyết nó cho một biểu đồ có hướng tùy ý. Có lẽ điều đó mang lại cho ai đó một số ý tưởng về cách tiếp cận vấn đề - hoặc có thể không. Tôi không biết làm thế nào để tự giải quyết nó, tôi sợ.

— DW

Vấn đề là thời gian đa thức có thể giải quyết được, được đề xuất trong Bổ đề 1 của bài báo Độ phức tạp tính toán của một số vấn đề trọng lượng trung bình tối đa với các ràng buộc ưu tiên .

$x_i\in[0,1]$ $x_u-x_v\leq 0$ $(u,v)\in E$

— Willard Zhan
nguồn