Có một loại không tầm thường bằng với đạo hàm của chính nó?

Một bài báo có tên là Đạo hàm của loại thông thường là Loại bối cảnh một lỗ của nó cho thấy "dây kéo" của một loại hình chữ cái của nó có bối cảnh theo một quy tắc phân biệt trong đại số loại.

Chúng ta có:

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

Chúng ta có thể sử dụng mô hình này để rút ra rằng đạo hàm của đơn vị là void, rằng đạo hàm của danh sách là sản phẩm của hai danh sách (tiền tố lần hậu tố), v.v.

Một câu hỏi tự nhiên để hỏi là "loại nào là đạo hàm riêng của nó?" Tất nhiên chúng tôi đã có $\partial_x 0 \mapsto 0$ , mà cho chúng ta biết void (loại không có người ở) là đạo hàm riêng của mình, nhưng đó không phải là rất thú vị. Nó là tương tự của thực tế là đạo hàm của số 0 bằng 0 trong phép tính vô hạn thông thường.

Có giải pháp nào khác cho phương trình $\partial_x T \mapsto T$ không? Đặc biệt, là có một tương tự của $\partial_x e^x = e^x$ trong loại đại số? Tại sao hay tại sao không?

type-theory algebra

— Matthew Piziak
nguồn

Trong lý thuyết về các loài tổ hợp, và ở đó nó tương ứng với các loài (hữu hạn), nhưng điều đó không tương ứng với một kiểu dữ liệu đại số.

— Derek Elkins

Bạn có ý nghĩa gì bởi "bằng"? Trong thế giới của bạn,

và

bằng nhau không? Làm thế nào về

và

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer Cái trước có, cái sau không.

là tương đương với sản phẩm lặp

trong tâm trí tôi. Điều đó nói rằng, tôi không có một mô hình nghiêm ngặt về sự bình đẳng loại trong tâm trí của tôi, và nếu bạn có một mô hình, bạn có thể chỉ cho tôi rằng tôi rất vui khi đọc nó.

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— Matthew Piziak

@DerekElkins khi nó xảy ra, một bài viết khác của McBride, được gọi là Clowns bên trái của tôi, Jokers to the Right chỉ ra rằng, "Đối với các cấu trúc hữu hạn, [phép lặp của toán tử trên dây kéo] tạo ra một chuỗi các kiểu dữ liệu sức mạnh trực tiếp, tìm tất cả các yếu tố từ trái sang phải .... Do đó, có một mối liên hệ quan trọng với khái niệm các loài tổ hợp ". Vì vậy, tôi sẽ không ngạc nhiên nếu các loài tổ hợp có một số vai trò thú vị trong bối cảnh của câu hỏi này.

— Matthew Piziak

@MatthewPiziak Họ chắc chắn làm. Brent Yorgey đã nói về điều này khá nhiều . Xem thêm luận án của mình .

— Derek Elkins

Câu trả lời:

Xét đa thức hữu hạn . Yếu tố của nó được xác định bởi quotiented bởi hoán vị, do đó cho bất kỳ . Bối cảnh một lỗ cho một yếu tố trong một điều như vậy là gì? Chà, chúng ta phải có để chọn vị trí cho lỗ, vì vậy chúng ta còn lại với $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ yếu tố, nhưng chúng tôi không phải là người khôn ngoan hơn về nơi đó. . ) Một bối cảnh một lỗ trong $n-1$ là một $\mathbf{Bag}\:X$ , và mỗi $\mathbf{Bag}\:X$ có thể phát sinh như vậy. Suy nghĩ không gian, đạo hàm của $\mathbf{Bag}\:X$ nên là chính nó. $\mathbf{Bag}\:X$

Hiện nay,

B a g X = \sum_{n \in N} X^{n} / S_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

một lựa chọn kích thước tuple , với một tuple của yếu tố lên đến một nhóm hoán vị trật tự , cung cấp cho chúng tôi chính xác việc mở rộng chuỗi lũy thừa của . $n$ $n$ $n!$ $e^x$

Ngây thơ, chúng ta có thể mô tả các loại container bởi một tập hợp các hình dạng và một gia đình hình dạng phụ thuộc vào vị trí : $S$ $P$ sao cho một container được cung cấp bởi sự lựa chọn hình dạng và bản đồ từ các vị trí đến các yếu tố. Với túi và những thứ tương tự, có thêm một sự thay đổi.

\sum_{s : S} X^{(P s)}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

Các "hình dạng" của túi là một số ; "vị trí" là , tập hợp hữu hạn có kích thước , nhưng ánh xạ từ vị trí đến các phần tử phải bất biến dưới các hoán vị từ . Không nên có cách nào để truy cập vào một chiếc túi "phát hiện" sự sắp xếp các yếu tố của nó. $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

Hiệp hội container Mid Midlands đã viết về các cấu trúc như vậy trong việc xây dựng các chương trình đa hình với các loại đơn vị , cho Toán học xây dựng chương trình 2004. Các container đơn vị mở rộng phân tích các cấu trúc thông thường của chúng tôi bằng "hình dạng" và "vị trí" bằng cách cho phép một nhóm tự động hóa hoạt động trên các vị trí , cho phép chúng ta xem xét các cấu trúc như cặp có thứ tự , với hàm . Một -tuple không có thứ tự được đưa ra bởi và đạo hàm của nó (khi là không có thứ tự $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ tuple). Túi lấy tổng của những thứ này. Chúng tôi có thể chơi trò chơi tương tự với chu kỳ -tuples, , nơi lựa chọn một vị trí cho móng lỗ luân chuyển đến một chỗ, để lại , một tuple một nhỏ hơn không có hoán vị. $n$ $X^n/n$ $X^{n-1}$

"Phân chia kiểu" khó có thể hiểu được nói chung, nhưng thương số theo các nhóm hoán vị (như trong các loài tổ hợp) có ý nghĩa, và rất vui khi chơi. (Tập thể dục: xây dựng một nguyên tắc cảm ứng cấu trúc cho cặp có thứ tự các con số, , và sử dụng nó để thực hiện cộng và phép nhân để chúng hoán bằng xây dựng.) $\mathbb{N}^2/2$

Đặc tính "hình dạng và vị trí" của các thùng chứa áp đặt sự hữu hạn đối với cả hai. Các loài kết hợp có xu hướng tổ chức theo kích thước , thay vì hình dạng, tương đương với việc thu thập các thuật ngữ và tính toán hệ số cho mỗi số mũ. Quotient-container-with-finite-vị trí-bộ và các loài tổ hợp về cơ bản là các spin khác nhau trên cùng một chất.

— thợ làm heo
nguồn

Tác giả gốc xuất hiện! Cảm ơn bạn đã dừng lại để cho chúng tôi thấy kết quả tuyệt đẹp này.

— Matthew Piziak

Làm thế nào về tổng vô hạn Các phái sinh là tương đương với bản gốc bằng associativity và giao hoán của tiền.

\sum_{i, j \in N} X^{i} ?

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{i, j \in N} \underset{i + 1}{\underset{⏟}{X^{i} + \dots + X^{i}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

Ngoài ra, tổng vô hạn bằng ), vì vậy chúng tôi có thể thử để tính toán các danh mục sử dụng phái sinh. $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— Andrej Bauer
nguồn

Đạo hàm của một danh sách là một cặp danh sách (tiền tố lần hậu tố). Theo quy tắc tổng hợp, đạo hàm của danh sách các danh sách là danh sách các cặp danh sách. Là một danh sách các cặp danh sách đẳng cấu với một danh sách các danh sách?

— Matthew Piziak

@MatthewPiziak Có lẽ dễ dàng hơn khi nghĩ về công thức đầu tiên là

. Lấy đạo hàm, chúng tôi nhận

(với ý nghĩa rõ ràng cho

). Bây giờ, chúng ta chỉ cần

. Đối với tôi, điều này có vẻ hơi giống với (rất không chính thức)

, Trừ các hệ số của chuỗi lũy thừa được lựa chọn là

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$ (ví dụ,

), để họ có thể đáp ứng

trong một thế giới không có sự phân chia.

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

— chi

@MatthewPiziak Rất tiếc, tôi đã viết

thay vì

, nhưng tôi nghĩ nó rõ ràng ý tôi là gì.

n

$n$

i

$i$

— chi