Tối đa hóa hàm lồi với ràng buộc tuyến tính

$$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

Ở đâu

$$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ và .$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Chúng ta có thể thấy rằng là lồi và có dạng . Cũng có thể chỉ ra rằng được giới hạn trong . Tôi biết rằng một vấn đề tối đa hóa lồi là NP-hard, nói chung.$f$$\sqrt{1+y^2}$$f$$[\sqrt{2}, 2]$

Tuy nhiên, bằng cách sử dụng bản chất cụ thể của vấn đề, có thể giải quyết nó bằng bất kỳ phần mềm / gói tối ưu lồi tiêu chuẩn nào không?

Có, Tối ưu hóa lồi với ràng buộc bình đẳng là NP-Hard nói chung. Tuy nhiên, tồn tại các kỹ thuật trưởng thành tìm ra các giải pháp gần đúng rất tốt cho các vấn đề tối ưu hóa lồi, như Phối hợp gốc.

Giả sử bạn sử dụng tọa độ gốc và ma trận A có thứ hạng . Bạn có thể sửa tọa độ nk-1 của giải pháp khả thi và sau đó các vectơ giải pháp trong không gian giải pháp được xác định duy nhất bởi một tọa độ, ví dụ . Trong trường hợp đó, bạn chỉ có thể lấy đạo hàm của đối với để tìm mức tối đa trong lần lặp này.$k$$x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$$x_i$$f(\cdot)$$x_i$

Sau đó, chúng tôi lặp lại sửa chữa tọa độ nk-1 và cải thiện giải pháp cho đến khi tìm thấy một phương án tối ưu.