GCD của một cặp sản phẩm

Tôi có hai số, mỗi số là sản phẩm của một số lượng lớn các số nhỏ hơn mà tôi biết. Tôi muốn tìm GCD (ước số chung lớn nhất) của hai số này. Có cách nào tôi có thể sử dụng nhân tố một phần mà tôi có để tăng tốc quá trình không?

Đặc biệt, mỗi số lớn hơn là tích của số nhỏ hơn, mỗi số theo thứ tự 2 4000 . Tôi không biết gì về hệ số của các số nhỏ hơn.$2^{15}$$2^{4000}$

Chỉnh sửa: Trong khi các số đầu vào khoảng 120.000.000 bit, GCD là khoảng 500.000 bit. Các yếu tố của các con số đặc biệt theo thứ tự. Họ là tất cả các số nguyên trong một phạm vi liên tiếp.

Tất cả các thuật toán GCD mà tôi thấy đều sử dụng các con số trực tiếp, không phải ở dạng bao thanh toán một phần hay bất cứ thứ gì. Có thuật toán nào có thể kết hợp thông tin này để tăng tốc mọi thứ không?

Bạn có thể tính toán các GCD cặp của các yếu tố. Bạn phải chia GCD ra khỏi các yếu tố để tránh tìm cùng một yếu tố GCD hai lần:

a[1...m] = [given factors of A]
b[1...n] = [given factors of B]
g = 1
for i from 1 to m do
    c = a[i]
    for j from 1 to n do
        d = gcd(c, b[j])
        g = g * d
        c = a[i] / d
        b[j] = b[j] / d
return g

Thật không may, tôi không nghĩ rằng điều này không nhanh hơn đáng kể so với tính toán GCD của hai số A và B.

Có một vấn đề tương tự đã được giải quyết một cách hợp lý hiệu quả: Giả sử bạn đang sử dụng RSA, tất cả được xây dựng trên các sản phẩm của hai số nguyên tố lớn, trong đó các sản phẩm không thể được cung cấp trong thời gian hợp lý. Nhưng nếu bạn có hai sản phẩm pq và p'q 'và p = p' hoặc q = q 'thì bạn có thể tính gcd của chúng và nhận p = p' hoặc q = q 'và yếu tố khác là tầm thường. Tất nhiên nếu p = p 'và cả q = q' thì điều này không có ích.

Không thể tưởng tượng được ai đó tạo ra một tỷ sản phẩm như vậy và hơi bất cẩn. Một tin tặc phát hiện ra rằng có khá nhiều số giống hệt nhau, vì vậy p = p 'và q = q', do đó, có thể đoán rằng khá nhiều cặp có gcd ≠ 1. Và điều đó đã xảy ra trong cuộc sống thực với các bộ định tuyến có thể mã hóa Kết quả là bị nứt.

Xin lỗi, tôi không có bất kỳ tài liệu tham khảo nào và câu chuyện hơi cũ, nhưng bạn sẽ có thể tìm thấy nó. Đã một vài năm trước, có thể sáu hoặc hơn.