Có phải hai yếu tố luôn trong một mối quan hệ trong một tập hợp được sắp xếp một phần?

Trong một tập hợp được sắp xếp một phần, tôi luôn có thể đặt hai phần tử tùy ý ra khỏi tập hợp? Hoặc có thể là hai phần tử trong tập hợp không có quan hệ thứ tự với nhau?

Ví dụ: nếu có ba phần tử và và , thì hoặc có phải giữ không?$\{a, b, c\}$$a \leq b$$a \leq c$$b \leq c$$c \leq b$

Tôi cần điều này để hiểu lý thuyết điểm cố định cho ngữ nghĩa của các ngôn ngữ lập trình (biểu thị các vòng lặp while).

Trong một tập hợp được đặt hàng một phần , có thể có các thành viên không thể so sánh được. Một thứ tự từng phần trong đó tất cả các yếu tố có thể so sánh được gọi là tổng thứ tự .

Chúng tôi nói và tương đương nhau khi có ít nhất một trong các cách giữ sau:$a$$b$

• $a\leq b$ ,
• $b \leq a$ .

Trong một tập hợp được sắp xếp một phần (viết tắt là poset), bạn có thể có và mà không có và có thể so sánh được (nghĩa là không giữ hay ). Đó là những gì làm cho nó một thứ tự một phần và không phải là một tổng số . Các nhà toán học thường có nghĩa là một tổng số đơn hàng khi nói thứ tự, vì ví dụ chính của một tập hợp có thứ tự là các số thực (hoặc các tập hợp con như số nguyên tự nhiên); các nhà khoa học máy tính sử dụng nhiều đơn hàng hơn ở cấp tiểu học, vì vậy, trong CS, giả định một phần trừ khi nói tổng số.$a \le b$$a \le c$$b$$c$$b \le c$$c \le b$

Một ví dụ điển hình của poset được đặt bao gồm: và , nhưng không phải của và là tập con của cái khác.$\{x\} \subset \{x,y\}$$\{x\} \subset \{x,z\}$$\{x,y\}$$\{x,z\}$

Poset thường phát sinh trong ngữ nghĩa học biểu thị để đại diện cho một lượng kiến ​​thức về một chương trình. có nghĩa là là một xấp xỉ tốt hơn về hành vi của chương trình so với . Ví dụ: nếu là chương trình là một hàm từ các số nguyên chấm dứt cho tất cả các đầu vào, thì là chương trình tính toán hàm kế thừa và là một chương trình tính toán hàm kép, sau đó và nhưng và không thể so sánh được.$a \le b$$b$$a$$a$$b$$c$$a \le b$$a \le c$$b$$c$