Bằng chứng là TAUT đã hoàn thành coNP (hoặc một vấn đề là coNP-Complete nếu phần bổ sung của nó là NP-Complete)

Tôi cần chứng minh rằng TAUT hoàn thành coNP. Tôi đã chỉ ra rằng bằng cách giảm thành . Tuy nhiên, tôi không thể tìm ra cách chứng minh rằng mọi vấn đề trong coNP có thể được giảm xuống thành trong thời gian đa thức. Để làm điều đó, tôi sẽ cần một trong hai điều:$\text{TAUT} \in \text{coNP}$$\text{SAT}$$\overline{\text{TAUT}}$$\text{TAUT}$

1. Một vấn đề hoàn thành coNP đã biết để giảm hoặc
2. một bằng chứng cho thấy một vấn đề là coNP-Complete nếu phần bổ sung của nó là NP-Complete.

Cả hai thứ này đều không được trao cho chúng tôi trong bài giảng, vì vậy tôi không thể sử dụng bất cứ thứ gì mà không tự mình chứng minh. Tôi đã bỏ lỡ bất cứ điều gì đáng lẽ phải rõ ràng? Tôi nên bắt đầu từ đâu?

Tôi lấy nó mà chúng tôi gọi $TAUT$ vấn đề đưa ra một công thức DNF, quyết định xem đó có phải là một tautology không (nếu bạn không muốn hạn chế đối với DNF, điều này vẫn sẽ hoạt động vì điều này chỉ làm cho vấn đề trở nên tổng quát hơn).

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn dễ dàng theo định nghĩa của $coNP$. Hãy nhớ rằng một ngôn ngữ$L \subseteq \{0,1\}^*$ trong $coNP$ Là $\bar{L} = \{x \in \{0,1\}^* \mid x \notin L\} \in NP$. Ví dụ,$\overline{TAUT}$là tập hợp các DNF không phải là một tautology. Để chứng minh rằng một DNF không phải là một tautology, bạn chỉ phải tìm một bài tập không thỏa mãn công thức của bạn, có thể được thực hiện trong thời gian đa thức với một NTM (chỉ "bruteforce" các bài tập). Do đó, nó là trong$NP$. Nói cách khác,$\overline{TAUT} \in NP$ do đó $TAUT \in coNP$.

Bây giờ lấy một $NP$ngôn ngữ hoàn chỉnh $L$. Theo định nghĩa,$\bar{L} \in coNP$. Chúng tôi cho thấy rằng$\bar{L}$ Là $coNP$- Hoàn thành, nghĩa là, đối với mọi ngôn ngữ $A \in coNP$, $A \leq \bar{L}$. Để cho$A \in coNP$. Sau đó$\bar{A}$ trong $NP$. Bởi$NP$tính đồng bộ của $L$, có một chức năng $f$, tính toán trong thời gian đa thức sao cho $x \in \bar{A}$ iff $f(x) \in L$. Điều này tương đương để nói rằng$x \notin \bar{A}$ iff $f(x) \notin L$. Lần lượt, tương đương với$x \in A$ iff $f(x) \in \bar{L}$. Như vậy$f$ cũng là một giảm từ $A$ đến $\bar{L}$, điều đó có nghĩa là $A \leq \bar{L}$. Nói cách khác,$\bar{L}$ Là $coNP$-hoàn thành.

Bây giờ, nếu bạn muốn thể hiện điều đó $TAUT$ Là $coNP$- Hoàn thành, bạn chỉ phải thể hiện rằng $\overline{TAUT}$ Là $NP$-hoàn thành. Và không khó để thấy điều đó$SAT \leq \overline{TAUT}$. Thật vậy, một CNF$F$ là thỏa đáng $\neg F$, đó là một DNF, không phải là một tautology.