Làm thế nào để hiểu được việc giảm từ bài toán 3 màu sang bài toán

Vấn đề 3 màu có thể được chứng minh NP-Complete sử dụng mức giảm từ 3SAT Graph Coloring (từ 3SAT) . Kết quả là, vấn đề 4 màu là NP-Complete sử dụng tính năng giảm từ 3 màu:

Giảm từ thể hiện 3 màu: thêm một đỉnh bổ sung vào biểu đồ của bài toán 3 màu và làm cho nó liền kề với tất cả các đỉnh ban đầu.

Theo cùng một lý do, vấn đề 5 màu, 6 màu và thậm chí chung có thể được chứng minh NP-Complete một cách dễ dàng. Tuy nhiên, vấn đề của tôi xuất hiện với cảm ứng toán học cơ bản:$k$

Vấn đề của tôi: Điều gì xảy ra nếu cảm ứng chuyển sang Vấn đề đổi màu và Màu, trong đó là số đỉnh trong đồ thị? Tôi chắc chắn biết rằng vấn đề có thể được giải quyết một cách tầm thường. Vì vậy, có điều gì sai với lý luận? Làm thế nào để hiểu được việc giảm từ bài toán 3 màu sang chữ chung chung ?$n-1$$n$$n$$n$$k$

Các vấn đề -coloring thường được định nghĩa chỉ cho hằng số , vì vậy -coloring không có ý nghĩa. Đối với mỗi hằng số , mức giảm mà bạn đề cập có tác dụng. Ví dụ, bằng cách thêm một số đỉnh cực đại mà bạn có thể hiển thị, việc tô màu ( n / 2 + 3 ) là hoàn thành NP.$k$$k$$n$$k \geq 3$$(n/2+3)$

Mâu thuẫn rõ ràng của bạn đến từ việc lạm dụng ký hiệu " ": ý nghĩa của nó thay đổi khi bạn chuyển qua câu hỏi.$n$

Khi bạn nói rằng -colouring là tầm thường, những gì bạn thực sự có ý nghĩa là nó tầm thường để tô màu bất kỳ đồ thị  G với | V ( G ) | màu sắc. Nhưng vấn đề n -colourability cho bất kỳ n không đổi là vấn đề xác định xem một đồ thị đầu vào tùy ý, với bất kỳ số đỉnh nào, có một màu n thích hợp hay không.$n$$G$$|V(G)|$$n$ $n$$n$

Chuỗi giảm từ biến đổi thành n- màu sắc tăng thêm n - 3 đỉnh vào biểu đồ. Điều này có nghĩa là cách duy nhất bạn có thể kết thúc với một ví dụ tầm thường của vấn đề n- colourability là nếu đầu vào ban đầu của bạn cho vấn đề 3 màu có 3  đỉnh hoặc ít hơn - một ví dụ như vậy đã tầm thường 3 màu.$3$$n$$n-3$$n$$3$$3$$3$

Bằng cách này, không cần phải sử dụng cảm ứng để chứng minh rằng -colourability là NP -complete cho mọi  k ≥ 3 vì nó dễ dàng để tạo nên chuỗi các cắt giảm đó sẽ xuất hiện trong cảm ứng. Một đồ thị  G là 3 -colourable nếu, và chỉ nếu, đồ thị  G ' là k -colourable, nơi G ' là sự kết hợp rời nhau của G và một bản sao của  K k - 3 , cộng với tất cả các cạnh có thể có giữa hai phần.$k$$k\geq 3$$G$$3$$G'$$k$$G'$$G$$K_{k-3}$

Các -coloring vấn đề là để tô màu bất kỳ đồ thị. Bạn chắc chắn có thể tìm thấy các biểu đồ mà k -coloring là tầm thường cũng như các công thức mà SAT là tầm thường hoặc vv Điều này không ảnh hưởng đến sự phức tạp của các vấn đề nói chung.$k$$k$