Tại sao chúng ta làm đẳng cấu, tự động và đồng hình?

12

Sự khác biệt chính giữa ba thuật ngữ đẳng cấu, tự động và đồng hình trong ngôn ngữ giáo dân đơn giản là gì và tại sao chúng ta thực hiện đẳng cấu, tự động và đồng cấu?

graph-theory

— Xara
nguồn

17

Sự đẳng cấu chính thức hóa khái niệm đồ thị bằng nhau . Ví dụ trên hình này, bạn thấy ba biểu đồ đẳng hình nhập mô tả hình ảnh ở đây

Chính thức hơn, một đẳng cấu của đồ thị và là một song ánh mà bảo tồn kề. Điều đó có nghĩa là: $G_1$ $G_2$ $f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

u \sim_{G_{1}} v ⟺ f (u) \sim_{G_{2}} f (v)

$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$

Không khó để tìm thấy một sự lựa chọn như vậy cho mỗi cặp biểu đồ trên hình ảnh.

Bây giờ nếu thì ánh xạ thu được sẽ trở thành tự động hóa - một đẳng cấu từ biểu đồ đến chính nó. $G_1 = G_2$

Bạn có thể hỏi khái niệm trực quan của tự động hóa đồ thị là gì và câu trả lời là nó cung cấp cho bạn một số loại thông tin trong đó các đỉnh "tương đương" trong biểu đồ. Nói cách khác, nếu có sự tự động hóa của của đồ thị sao cho đỉnh được ánh xạ tới đỉnh thì theo cách lân cận của và "trông" giống nhau. $f$ $G$ $v$ $u$ $u$ $v$

Điều này dẫn đến khái niệm về đối xứng đồ thị . Một đồ thị được cho là đỉnh-bắc cầu nếu với mọi cặp đỉnh có một automorphism mà $G$ $u,v \in V(G)$ $f:V(G) \mapsto V(G)$ $f(u) = v.$ Một ví dụ về đồ thị chuyển tiếp đỉnh là đồ thị Petersen nhập mô tả hình ảnh ở đây

và như bạn có thể thấy các biểu đồ "trông" khá đối xứng. Đó là chính xác bởi vì nó có "nhiều" tự động hóa của loại mô tả.

Đồ thị đồng hình thường không được nghiên cứu bởi giáo dân và ít nhiều có mục đích lý thuyết. Ví dụ, chúng có liên quan chặt chẽ với khái niệm màu sắc đỉnh. Xem thêm phỏng đoán Hadwiger

— Jernej
nguồn

1

... đồng hình thường không được nghiên cứu bởi giáo dân ... vui nhộn! +1

— Pratik Deoghare

8

$h:G\rightarrow G'$ $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $e=(u,v) \in E$ $(h(u),h(v))\in E'$

Bây giờ một đẳng cấu đồ thị là một đồng cấu hình học, nghĩa là nghịch đảo của nó cũng là một đồng cấu. Nếu hai biểu đồ là đẳng cấu, thì về cơ bản chúng là cùng một biểu đồ, chỉ với một đỉnh của các đỉnh. Vấn đề xác định xem hai đồ thị có phải là đẳng cấu với nhau hay không là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết phức tạp.

Cuối cùng, tính tự động là đẳng cấu từ biểu đồ đến chính nó.

— Marc Khoury
nguồn