Độ phức tạp tính toán của biến thể SAT không bằng nhau

Không phải tất cả SAT bình đẳng là một vấn đề NP Complete. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một biến thể khác của vấn đề.

Đưa ra một vấn đề Không phải tất cả bằng SAT (NAESAT) (số lượng chữ được phép tùy ý cho mỗi mệnh đề) với một ràng buộc bổ sung rằng mỗi cặp mệnh đề chia sẻ ít nhất 1 nghĩa đen (không phải biến số nhưng nghĩa đen).

Có phải vấn đề này vẫn là NP-hard? Có vẻ như vậy, nhưng tôi không chắc chắn về việc giảm.

Vấn đề của bạn là NP-hard , như có thể thấy bằng cách giảm (đã biết, tôi tin) từ CNF-SAT: Giảm từ (ví dụ) -SAT như sau. Đưa ra một công thức , tạo một công thức cho NAE-SAT đặc biệt của bạn bằng cách giới thiệu chính xác một biến bổ sung, giả sử . Thêm vào mọi mệnh đề trong để thu được .$3$$F$$y$$y$$F$$F'$

Ví dụ: trở thành $F = (x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3) \wedge (\neg x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4)$$F' := (x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3 \vee y) \wedge (\neg x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4 \vee y)$

Sau khi làm điều này, mọi mệnh đề đều chứa và do đó chia sẻ (ít nhất) một nghĩa đen.$y$

Phác thảo bằng chứng: Nếu thỏa mãn, sử dụng cùng một phép gán thỏa mãn để thỏa mãn , cùng với .$F$$F'$$y = false$

Nếu là thỏa đáng, có hai tùy chọn$F'$

• $y = false$ , trong trường hợp này, phép gán tương tự thỏa mãn ( có ít nhất một chữ đúng cho mỗi mệnh đề và nó không bao giờ là , do đó cũng có ít nhất một chữ đúng cho mỗi mệnh đề)$F$$F'$$y$$F$
• $y = true$ , phủ định phép gán bão hòa cho để thỏa mãn (ít nhất một chữ sai cho mỗi mệnh đề trong , sau khi phủ định phép gán, chúng ta có ít nhất một chữ đúng cho mỗi mệnh đề)$F'$$F$$F'$