Tính chất quyết định của thực tế tính toán

Có phải "Định lý của Rice đối với các thực thể tính toán" - nghĩa là, không có thuộc tính không cần thiết nào của số được biểu thị bằng một thực tế tính toán nhất định là có thể quyết định - có đúng không?

Điều này có tương ứng trong một số cách trực tiếp đến sự kết nối của thực tế?

computability real-numbers computable-analysis

— Shachaf
nguồn

Câu trả lời:

Đúng, định lý của Rice đối với các thực thể giữ trong mọi phiên bản hợp lý của các thực thể tính toán.

Trước tiên tôi sẽ chứng minh một định lý nhất định và một hệ quả, và giải thích những gì nó phải làm với khả năng tính toán sau này.

Định lý: Giả sử là một bản đồ và hai số thực mà và . Sau đó, tồn tại một chuỗi Cauchy sao cho cho tất cả $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$ $(x_i)_i$ $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$ . $j \in \mathbb{N}$

Bằng chứng. Chúng tôi xây dựng một chuỗi các cặp thực như sau: $(y_i, z_i)_i$

\begin{aligned} (y_{0}, z_{0}) & = (a, b) \\ (y_{i + 1}, z_{i + 1}) & = {\begin{cases} (y_{i}, (y_{i} + z_{i}) / 2) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 1 \\ ((y_{i} + z_{i}) / 2, z_{i}) & if p ((y_{i} + z_{i}) / 2) = 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$ Quan sát mà cho tất cả

i \in N

$i \in \mathbb{N}$

và $p(y_i) = 0$ $p(z_i) = 1$
$|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
$|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

Do đó, các chuỗi và là Cauchy và chúng hội tụ đến một điểm chung . Nếu thì ta lấy và nếu thì ta lấy $(y_i)_i$ $(z_i)_i$ $c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$ $p(c) = 0$ $(x_i)_i = (z_i)_i$ $p(c) = 1$ . $(x_i)_i = (y_i)_i$ $\square$

Hệ quả: Giả sử và hai số thực sao cho và . Sau đó, mọi máy Turing sẽ chạy mãi mãi hoặc nó không chạy mãi mãi. $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(b) = 1$

Bằng chứng. Bởi định lý, có một dãy Cauchy như rằng cho tất cả . Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng và . $(x_i)_i$ $p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$ $j \in \mathbb{B}$ $p(x_j) = 1$ $p(\lim_i x_i) = 0$

Đặt là máy Turing. Xác định một chuỗi bởi Trình tự được xác định rõ vì chúng tôi có thể mô phỏng theo bước và quyết định xem nó đã dừng lại hoặc không trong nhiều bước. Tiếp theo, hãy quan sát rằng là một chuỗi Cauchy vì $T$ $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} x_{j} & if T halts in step j and j \leq i \\ x_{i} & if T does not halt within i steps \end{cases}

$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$

T

$T$

i

$i$

(y_{i})_{i}

$(y_i)_i$

là một chuỗi Cauchy (chúng tôi để nó như một bài tập). Đặt

. Hoặc

hoặc

(x_{i})_{i}

$(x_i)_i$

z = lim_{i} y_{i}

$z = \lim_i y_i$

p (z) = 0

$p(z) = 0$

p (z) = 1

$p(z) = 1$

$p(z) = 0$ $T$ $j$ $z = x_j$ $p(z) = p(x_j) = 1$ $p(z) = 0$
$p(z) = 1$ $T$ $z = \lim_i x_i$ $p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$ $p(z) = 0$ $\square$

Bây giờ chúng ta có thể giải thích tại sao điều này mang lại cho chúng ta định lý Rice cho các số thực. Các bằng chứng mang tính xây dựng, do đó chúng mang lại các thủ tục tính toán. Điều này đúng với bất kỳ mô hình tính toán nào và bất kỳ cấu trúc tính toán nào của các thực thể xứng đáng được gọi như vậy. Trên thực tế, bạn có thể quay lại và đọc bằng chứng dưới dạng hướng dẫn để xây dựng chương trình - tất cả các bước đều có thể tính toán được.

$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ $a, b \in \mathbb{R}$ $p(a) = 0$ $p(1) = 1$ $p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ là hằng số.

Bổ sung: Cũng có một câu hỏi về việc liệu định lý của Rice có liên quan đến sự kết nối của thực tế hay không. Vâng, về cơ bản là tuyên bố rằng các thực tế được kết nối.

$p : X \to \{0,1\}$ $\{0,1\}$ $U, V \subseteq X$ $U \cup V = X$ $U = p^{-1}(\{0\})$ $V = p^{-1}(\{1\})$ $p$ $\{0\}$ $\{1\}$ $U$ $V$ $X$ $(U,V)$ $X$ $p : X \to \{0,1\}$ $U$ $0$ $V$ $1$

$X$ $p : X \to \{0,1\}$ $a, b \in X$ $p(a) = 0$ $p(1) = b$ $a$ $b$ $X$ $X$ $X \to \{0,1\}$

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— Andrej Bauer
nguồn

Cảm ơn! Đây là những gì tôi đang tìm kiếm. Bất kỳ ý tưởng về câu hỏi khác - liệu điều này có liên quan trực tiếp đến sự kết nối của thực tế không?

— Shachaf

Tôi đã thêm một lời giải thích về thực tế rằng định lý Rice thực tế là một dạng của định lý kết nối.

— Andrej Bauer

p (x) = 1, p (x^{'}) = 0

$p(x)=1, p(x')=0$

y_{i} = x

$y_i=x$

T

$T$

i

$i$

y_{i} = x^{'}

$y_i=x'$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

x, x^{'}

$x,x'$

T

$T$

y_{i}

$y_i$

p

$p$

T

$T$

p

$p$

1

$1$

T

$T$

y_{i}

$y_i$

i

$i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

x^{'}

$x'$

T

$T$

-1

Không. Hoặc, ít nhất, bằng chứng không tầm thường, vì bạn có thể chọn trong số các cách có thể (nói chung là nhiều) có thể để tính toán thực và có thể chọn một cách có cấu trúc là tổng tài sản được chọn sao cho bạn không giảm việc kiểm tra tài sản đối với vấn đề tạm dừng.

Ngoài ra, tôi nghĩ rằng tôi cần hiểu rõ hơn về "không tầm thường" nghĩa là viết các thuộc tính của số. Đối với định lý của Rice, "không cần thiết" về cơ bản là không cú pháp và không được ngụ ý theo cú pháp. Tuy nhiên, mỗi số thực tính toán không phải là một chương trình, mà là một lớp tương đương có đầy đủ các chương trình.

— Cậu bé Stephen Smith Jr.
nguồn

2

$2$

22 / 7

$22/7$

π

$\pi$

Các đại diện khác nhau của thực tế tính toán thực sự có tính chất tính toán khác nhau đáng kể? Giả sử tôi đang sử dụng một trong các định nghĩa tại en.wikipedia.org/wiki/Computable_number , ví dụ: một thực tế tính toán được đại diện bởi một chương trình có một lỗi hợp lý bị ràng buộc và tạo ra một xấp xỉ trong giới hạn đó. Ý tôi là "tầm thường" theo nghĩa tương tự như định lý của Rice: Một thuộc tính áp dụng cho tất cả các thực thể tính toán hoặc không thuộc về chúng. Đúng là mỗi số có thể được đại diện bởi nhiều chương trình, nhưng điều đó cũng đúng với các chức năng một phần.

— Shachaf

@Shachaf Điều đó "tầm thường" hơn Định lý của Rice yêu cầu. Các thuộc tính "Cú pháp" cũng không đáng kể - ví dụ "có ít nhất 4 trạng thái có thể truy cập từ trạng thái ban đầu", "có biểu đồ trạng thái được kết nối", "không có chuyển đổi ghi X vào băng", v.v. - và chúng cần không áp dụng cho mọi máy.

— Boyd Stephen Smith Jr.

@DavidR Richby Vâng, tôi nghĩ rằng sự khác biệt là cần thiết. Nếu bạn có thể làm việc độc quyền với các đại diện toàn diện hoặc năng suất, bạn có nhiều quyền lực hơn.

— Boyd Stephen Smith Jr.

Định lý Rice là về các thuộc tính của các hàm một phần, không phải là các thuật toán tính toán chúng. Tương tự, tôi đang hỏi về các thuộc tính của các thực tế tính toán, không phải các chương trình tính toán chúng.

— Shachaf