Tầm quan trọng của đệ quy trong lý thuyết tính toán

Người ta nói rằng lý thuyết tính toán còn được gọi là lý thuyết đệ quy. Tại sao nó được gọi như vậy? Tại sao đệ quy có tầm quan trọng này?

Trong những năm 1920 và 1930, mọi người đã cố gắng tìm ra ý nghĩa của việc "tính toán hiệu quả một chức năng" (hãy nhớ rằng không có máy tính có mục đích chung nào xung quanh và máy tính là thứ được thực hiện bởi mọi người).

Một số định nghĩa về "tính toán" đã được đề xuất, trong đó ba định nghĩa được biết đến nhiều nhất:

1. Các -calculus$\lambda$
2. Hàm đệ quy
3. Máy Turing

$\lambda$

Sau đó, có một nỗ lực, được phổ biến bởi Robert Soare , để thay đổi "đệ quy" thành "tính toán". Vì vậy, ngày nay chúng ta nói về các chức năng tính toán và các bộ có thể tính toán được. Nhưng nhiều sách giáo khoa cũ và nhiều người vẫn thích thuật ngữ "đệ quy".

Quá nhiều cho lịch sử. Chúng ta cũng có thể hỏi liệu đệ quy có quan trọng đối với tính toán theo quan điểm toán học thuần túy hay không. Câu trả lời là rất "chắc chắn!". Đệ quy nằm ở cơ sở của các ngôn ngữ lập trình có mục đích chung (thậm chí whilecác vòng lặp chỉ là một hình thức đệ quy vì while p do cgiống như if p then (c; while p do c)) và nhiều quy tắc dữ liệu cơ bản, như danh sách và cây, được đệ quy. Đệ quy đơn giản là không thể tránh khỏi trong khoa học máy tính, và trong lý thuyết tính toán cụ thể.

Lý thuyết tính toán là nghiên cứu các chức năng tính toán :-).

Các chức năng như vậy thường (trong cộng đồng này) được định nghĩa là các chức năng có thể được biểu thị bằng máy Turing.

$f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$$T$$T$$x = 1^n$$T$$1^{f(x)}.$

Hóa ra nếu bạn xác định các hàm tính toán theo cách này (các chương trình) thì chúng tương đương với tập hợp các hàm mà người ta có thể có được bằng cách sử dụng các quy tắc được mô tả ở đây . Chúng được gọi là các hàm đệ quy vì một trong các quy tắc để có được các hàm đó là một định nghĩa đệ quy (Xem quy tắc thứ 5 trên wikipedia).

Vì vậy, lý do tại sao lý thuyết đệ quy có nhiều tầm quan trọng tương đương với câu hỏi tại sao các chức năng tính toán lại quan trọng. Và câu trả lời cho cái sau nên khá rõ ràng :)