Có một ví dụ đơn giản về các bộ sao cho nhưng không phải không?

Tôi tự hỏi nếu có một ví dụ đơn giản của bộ và mà là Turing-được giảm đến nhưng không nhiều-to-one được giảm đến .$A$$B$$A$$B$$B$

Ví dụ: bộMáy Turing có chỉ số tạm dừng trên đầu vào vàMáy Turing có chỉ số không dừng lại ở đầu vào .$H = \{x \, |$$x$$x\}$$\overline{H} = \{x \, |$$x$$x\}$

Bởi vì nếu , thì sẽ được liệt kê đệ quy và do đó sẽ được đệ quy, đó là mâu thuẫn.$\overline{H} \leq_m H$$\overline{H}$$H$

Mặt khác, , bởi vì có máy Turing với oracle nhận ra . Máy này cho đầu vào chỉ kiểm tra và phủ nhận câu trả lời.$\overline{H} \leq_T H$$H$$\overline{H}$$x$$x \in H$

Điểm khác biệt chính (hoặc ít nhất một điều quan trọng) là việc giảm Turing là dựa trên lời tiên tri , trong khi việc giảm nhiều lần yêu cầu một chức năng tính toán tổng thể (tức là bạn cần có thể ánh xạ tất cả các đầu vào vào một cái gì đó). Với suy nghĩ này, chúng ta có thể lấy một ví dụ khá rõ ràng:

Hãy xem xét bộ máy Turing tạm dừng trên một số đầu vào cố định (vì mục đích của đối số, đầu vào trống là đủ tốt) và bộ không dừng trên cùng một đầu vào cố định. Cần phải rõ ràng đây là Turing tương đương (nếu chúng ta có một lời sấm truyền cho một người, chúng ta có thể sử dụng nó để trả lời người khác - chỉ cần chạy lời tiên tri trên đầu vào và đưa ra câu trả lời ngược lại).

Mặt khác, nếu chúng ta có chức năng tính toán có thể chuyển đổi các máy không dừng thành máy hoạt động và ngược lại, chúng ta có thể quyết định vấn đề tạm dừng.

Để cho $A$ là bất kỳ ngôn ngữ không cần thiết như $\{a\}$ và để $B$ là ngôn ngữ trống rỗng $\emptyset$.

$A$ là Turing có thể giảm $B$ bởi vì, được đưa ra một lời tiên tri cho ngôn ngữ trống rỗng, chúng ta có thể xác định xem một chuỗi đầu vào có phải là $a$hay không. (Chúng ta thậm chí không cần sử dụng lời sấm.)

Nhưng $A$ không thể giảm được nhiều $B$ bởi vì không có gì để ánh xạ đầu vào $a$ đến.