Tại sao nhật ký trong big-O của tìm kiếm nhị phân không phải là cơ sở 2?

35

Tôi mới hiểu được thuật toán khoa học máy tính. Tôi hiểu quá trình tìm kiếm nhị phân, nhưng tôi có một sự hiểu lầm nhỏ với hiệu quả của nó.

Trong một kích thước của phần tử , trung bình, sẽ cần bước để tìm một phần tử cụ thể. Lấy logarit cơ sở 2 của cả hai bên đều mang lại . Vì vậy, số bước trung bình của thuật toán tìm kiếm nhị phân có phải là không? $s = 2^n$ $n$ $\log_2(s) = n$ $\log_2(s)$

Bài viết Wikipedia này về thuật toán tìm kiếm nhị phân nói rằng hiệu suất trung bình là . Tại sao cái này rất? Tại sao số này không phải là ? $O(\log n)$ $\log_2(n)$

algorithms runtime-analysis binary-search

— DrPepper
nguồn

2

Sao y trên SO - Là cơ sở nhật ký Big O (logn) e?

— Dukeling

86

Khi bạn thay đổi cơ sở của logarit, biểu thức kết quả chỉ khác nhau bởi một yếu tố không đổi, theo định nghĩa của ký hiệu Big-O , ngụ ý rằng cả hai hàm thuộc cùng một lớp đối với hành vi tiệm cận của chúng.

Ví dụ: trong đó

\log_{10} n = \frac{\log_{2} n}{\log_{2} 10} = C \log_{2} n

$\log_{10}n = \frac{\log_{2}n}{\log_{2}10} = C \log_{2}{n}$

.

C = \frac{1}{\log_{2} 10}

$C = \frac{1}{\log_{2}10}$

Vì vậy, và khác nhau bởi một hằng số và do đó cả hai đều đúng: Nói chung là cho số nguyên dương và lớn hơn 1. $\log_{10}n$ $\log_{2}n$ $C$

\log_{10} n is O (\log_{2} n)

$\log_{10}n \text{ is } O(\log_{2}n)$

\log_{2} n is O (\log_{10} n)

$\log_{2}n \text{ is } O(\log_{10}n)$

\log_{a} n

$\log_{a}{n}$

O (\log_{b} n)

$O(\log_{b}{n})$

a

$a$

b

$b$

Một thực tế thú vị khác với các hàm logarit là trong khi với hằng số , không phải là , nhưng là vì khác với chỉ là hằng số yếu tố . $k>1$ $n^k$ $O(n)$ $\log{n^k}$ $O(\log{n})$ $\log{n^k} = k\log{n}$ $\log{n}$ $k$

— fade2black
nguồn

Không chỉ cho số nguyên dương: Đối với tất cả

thực

, ví dụ

.

a, b > 1

$a,b > 1$

e

$e$

— nbubis

2

Tôi sẽ nói thêm rằng đây là lý do tại sao với ký hiệu big-O, cơ sở của logarit thường không được chỉ định. Điều đó cũng có nghĩa là không có sự nhầm lẫn về cơ sở

sử dụng: nó có thể là bất kỳ cơ sở nào thường được sử dụng, vì nó không tạo ra sự khác biệt.

O (\log n)

$O(\log n)$

— Svick

9

$\log(n)$ $e$ $\log$

Nhưng, như đã được chỉ ra, trong trường hợp này nó không kết thúc.

— MattPutnam
nguồn

7

Có lẽ đáng chú ý hơn nữa là trong khi "log (n)" có thể mơ hồ rằng "O (log (n))" không phải vì cái sau chỉ có một nghĩa, bất kể bạn có thể nghĩ đến cơ sở nào.

— Chris