Có một khái niệm kép để logic Turing Complete dòng trong logic?

Hai mô hình điện toán có thể được hiển thị là hoàn thành nếu mỗi mô hình có thể mã hóa một trình giả lập phổ quát cho mô hình kia. Hai logic có thể được hiển thị là hoàn thành nếu mã hóa các quy tắc suy luận (và có thể là tiên đề nếu có) của mỗi logic được hiển thị là các định lý của cái kia. Trong khả năng tính toán, điều này đã dẫn đến một ý tưởng tự nhiên về sự hoàn thiện của Turing và Luận án Turing của Giáo hội. Tuy nhiên, tôi đã không thấy nơi mà sự hoàn thiện hợp lý đã dẫn đến bất kỳ ý tưởng tự nhiên nào gây ra về sự hoàn thiện có chất lượng tương tự.

Vì Khả năng cung cấp và Khả năng tính toán có liên quan mật thiết với nhau, vì vậy tôi nghĩ rằng không quá nhiều để xem xét rằng có thể có một khái niệm trong logic là một đối ngẫu tự nhiên đối với Turing Complete. Về mặt suy đoán, một cái gì đó như: có một định lý "đúng" không thể chứng minh được trong logic khi và chỉ khi có một hàm tính toán không thể mô tả được bằng mô hình điện toán. Câu hỏi của tôi là, có ai đã nghiên cứu điều này? Một tài liệu tham khảo hoặc một số từ khóa sẽ hữu ích.

Bởi "đúng" và "tính toán" trong đoạn trước tôi đang đề cập đến những ý tưởng trực quan nhưng cuối cùng không thể xác định được. Ví dụ, ai đó có thể chỉ ra rằng độ chính xác của các chuỗi Goodstein là "đúng" nhưng không thể chứng minh được trong số học Peano mà không xác định đầy đủ khái niệm "đúng". Tương tự, bằng cách chéo, có thể chỉ ra rằng có các hàm tính toán không phải là đệ quy nguyên thủy mà không thực sự xác định đầy đủ khái niệm tính toán. Tôi đã tự hỏi, mặc dù cuối cùng chúng có xu hướng là các khái niệm theo kinh nghiệm, nhưng có lẽ các khái niệm này có thể liên quan với nhau đủ tốt để liên quan đến các khái niệm về sự hoàn chỉnh.

Tôi không chắc tại sao bạn nói "đúng" cuối cùng lại không thể xác định được, vì có một định nghĩa chính xác cho ý nghĩa của công thức thứ tự đầu tiên là đúng .

Điều độc đáo trong trường hợp tính toán, là đối với bất kỳ định nghĩa nào (hoang dã như giấc mơ của bạn) cho một "mô hình tính toán", cuối cùng bạn có thể liên kết nó với một tập hợp các hàm (các hàm có thể tính toán). Do đó, bạn có thể so sánh một cách tự nhiên các mô hình khác nhau và khi sửa một mô hình (dựa trên một số biện minh thực nghiệm như "đó là một đại diện tốt cho tính toán trong thế giới thực"), bạn có thể gọi bất kỳ mô hình nào khác hoàn chỉnh nếu nó tính toán chính xác cùng một bộ chức năng.

Tuy nhiên, làm thế nào để bạn so sánh các logic khác nhau? Dường như không có thuộc tính tự nhiên nào bạn có thể gắn vào một logic tùy ý và sử dụng nó để so sánh nó với các hệ thống khác. Có lẽ bạn có thể sửa lỗi logic, ví dụ logic vị ngữ thứ tự đầu tiên và hỏi về tính hoàn chỉnh của một hệ tiên đề. Giả sử bạn làm việc trong ZFC và tin rằng nó bao gồm các tiên đề tự nhiên đại diện cho thế giới. Bây giờ, khi được cung cấp một hệ tiên đề khác, bạn có thể hỏi liệu chúng có cùng lý thuyết hay không và gọi hệ thống này hoàn chỉnh trong trường hợp câu trả lời là có. Tôi nghĩ rằng sự khác biệt từ trường hợp tính toán, là về khả năng tính toán, có sự đồng thuận mạnh mẽ hơn về "mô hình cơ sở" nên là gì. Lý do cho sự đồng thuận này là nhiều mô hình tính toán độc lập sau đó đã được hiển thị là tương đương,