Tìm một người vi phạm hội trường tối thiểu

Cho một đồ thị lưỡng cực $(X,Y，E)$ , trong đó không có kết hợp hoàn hảo, tôi muốn tìm một tập hợp con nhỏ nhất vi phạm điều kiện của Hall, nghĩa là một tập hợp số lượng tối thiểu $S \subseteq X$ mà $|N(S)|<|S|$ .

Vấn đề này là phiên bản tối ưu hóa của một câu hỏi trước Tìm một tập hợp con trong đồ thị hai cực vi phạm điều kiện của Hall , từ đó tôi biết có tồn tại thuật toán đa thức thời gian để tìm như vậy $S \subseteq X$ . Có tồn tại một thuật toán đa thức cho vấn đề tối ưu hóa không?

np-hard matching bipartite-matching

— Y.Zhang
nguồn

Cũng rất thú vị khi tìm thấy một kẻ vi phạm Hall-cardinality tối đa .

— Erel Segal-Halevi

Cũng rất thú vị khi tìm thấy một trong những người vi phạm Hội trường vi phạm nhất, đó là,

S \subseteq X

$S \subseteq X$ mà

| S | - | N (S) |

$|S|-|N(S)|$ lấy giá trị tối đa.

— John L.

Có thể là điều thú vị nhất khi tìm thấy một tập hợp các cạnh có ít cardinality nhất hoặc chỉ là cardinality ít nhất sao cho một khi các cạnh đó được thêm vào, một kết hợp hoàn hảo là có thể.

— John L.

Đây không phải là một câu trả lời - chỉ là một ghi chú dài.

Câu hỏi liên quan đến vấn đề che đỉnh tối thiểu với sự chồng chéo tối thiểu của một bên . Giả sử chúng ta có nắp đỉnh tối thiểu $C$ kích thước $m$ . Theo định lý của Konig, $m$ cũng bằng kích thước của kết hợp tối đa, vì vậy $m < n$ .

Từ $C$ là một đỉnh bao gồm, bất kỳ đỉnh không trong $C$ phải có tất cả hàng xóm của nó trong $C$ . Vì thế $N(X\setminus C)\subseteq Y\cap C$ . Vì thế:

\begin{aligned} | N (X ∖ C) | & \leq | Y \cap C | \\ = m - | X \cap C | \\ = m - n + | X ∖ C | \\ < | X ∖ C | \end{aligned}

$\begin{align} |N(X\setminus C)| &\leq |Y\cap C| \\ &= m-|X\cap C| \\ &= m-n+|X\setminus C| \\ &< |X\setminus C| \end{align}$ vì thế

X ∖ C

$X\setminus C$ là một kẻ vi phạm Hall. Bây giờ nếu

X \cap C

$X\cap C$ là lớn, sau đó

X ∖ C

$X\setminus C$ nhỏ.

Tuy nhiên, tôi không chắc chắn rằng việc tìm kiếm một $C$ mà tối đa hóa $X\cap C$ cũng mang lại vi phạm Hall nhỏ nhất.

— Erel Segal-Halevi
nguồn

tl; dr : Tôi đã tìm thấy một khoảng cách chết người trong bằng chứng này rằng tôi không thể đóng. Tôi sẽ để lại câu trả lời này trong trường hợp: a) Tôi tìm ra cách khắc phục hoặc b) nó truyền cảm hứng cho người khác để tìm ra cách khắc phục nó.

Để cho $G = (X \cup Y, E)$ là một đồ thị lưỡng cực mà không có một kết hợp hoàn hảo. Chúng tôi sẽ nói rằng một tập hợp con $S$ là thiếu nếu $|N(S)| \lt |S|$ . Chúng tôi đang tìm kiếm một tập hợp con tối thiểu, thiếu $X$ . Cách tiếp cận chung sẽ là xác định các bộ tối thiểu, thiếu tiềm năng bằng cách mô tả (và tìm) tất cả các bộ mini mal , bộ thiếu, tức là: bộ thiếu $S\subset X$ không chứa các tập hợp con thiếu. Chúng ta hãy thực hiện một vài quan sát về các thuộc tính của các bộ tối thiểu, thiếu này.

Quan sát 1 : Một tập hợp con $S$ là một tập hợp thiếu tối thiểu của $X$ iff cho tất cả $s \in S$ , bộ $S\setminus \{s\}$ có một kết hợp hoàn hảo trong $G$ . Đây chỉ là Định lý của Hall.

Quan sát 2 : Nếu $S$ là một tập hợp thiếu tối thiểu của $X$ , sau đó cho tất cả $s_1, s_2 \in S$ , có một con đường trong $G$ từ $s_1$ đến $s_2$ . Nếu không, chúng ta có thể phân hủy $S$ thành hai (hoặc nhiều) thành phần, ít nhất một trong số đó sẽ bị thiếu, do đó mâu thuẫn với mức tối thiểu.

Bây giờ, hãy để chúng tôi sửa chữa $M$ , một số kết hợp tối đa trong $G$ . Để cho $X' \subset X$ và $Y' \subset Y$ là các đỉnh được khớp bởi $M$ và để $U = X\setminus X'$ là tập hợp con của các đỉnh chưa từng có trong $X$ . Đối với bất kỳ tập hợp con $S$ của $X$ , chúng tôi cũng sẽ biểu thị $m(S)$ như tập hợp các đỉnh trong $G$ có thể truy cập từ $S$ thông qua $M$ đường dẫn bên ngoài.

Trong câu trả lời cho câu hỏi được liên kết trong OP, chúng tôi thấy một bằng chứng rằng nếu chúng tôi thực hiện $S = U \cup (m(U) \cap X)$ sau đó $S$ bị thiếu Đọc cẩn thận bằng chứng đó cho thấy rằng nó hoạt động không chỉ cho $U$ nhưng bất kỳ tập hợp con của $U$ . Đó là để nói, nếu chúng ta có bất kỳ tập hợp con $U_1 \subseteq U$ , sau đó $U_1 \cup (m(U_1) \cap X)$ là một tập hợp con thiếu $X$ . Đặc biệt, chúng tôi có thể mất $U_1$ là một bộ đơn. Bất cứ gì $u \in U$ , hãy xác định $D_u = \{u\} \cup (m(\{u\}) \cap X)$ .

Bổ đề 1 : $D_u$ là một bộ tối thiểu, thiếu cho tất cả $u \in U$ .

Bằng chứng : Chúng tôi sẽ chấp nhận điều đó $D_u$ bị thiếu thông qua bằng chứng được đưa ra trong câu trả lời được tham chiếu trước đó. Để thể hiện rằng $D_u$ là thiếu hụt wrt tối thiểu, chúng tôi quan sát rằng $D_u \setminus \{u\}$ chỉ đơn giản là một tập hợp con của $X'$ , do đó tồn tại một kết hợp hoàn hảo cho nó bên trong $G$ (chỉ cần hạn chế $M$ đến $D_u\setminus \{u\}$ ). Cho bất kỳ ai khác $y \in D_u$ , chúng tôi theo $M$ đường dẫn bên ngoài từ $y$ đến $u$ , lật tất cả các cạnh dọc theo đường dẫn này và có được kết hợp hoàn hảo của $D_u \setminus \{y\}$ trong $G$ . Vì vậy, bằng cách quan sát 1, $D_u$ là một bộ tối thiểu, thiếu. $\square$

Ok, bây giờ chúng tôi đã xác định được một tập hợp các tập hợp con tối thiểu, thiếu $X$ , chúng ta cần hỏi: những gì về người khác?

Để thêm một cấu trúc nhỏ, chúng ta hãy xem xét bất kỳ bộ $S \subseteq X$ ở dạng $S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2$ Ở đâu $U_1 \subseteq U$ , $Z_1 \subseteq m(U_1)$ và $Z_2 \subseteq X' \setminus m(U_1)$ . Nói cách khác, chúng tôi phá vỡ $S$ vào phần không thể so sánh được $M$ ( $U_1$ ), phần có thể truy cập từ $U_1$ thông qua $M$ đường dẫn bên ngoài ( $Z_1$ ) và phần không thể truy cập từ $U_1$ thông qua $M$ đường dẫn bên ngoài ( $Z_2$ ). Thật là tầm thường khi quan sát rằng nếu $S$ là một bộ thiếu, sau đó $U_1$ phải không trống.

Qua bổ đề 1, chúng tôi đã đề cập đến trường hợp $Z_1 = m(U_1)$ và $Z_2$ trống rỗng Điều này để lại ba trường hợp để kiểm tra:

$Z_2$ không trống
$|U_1| > 1$ và $Z_1 \subsetneq m(U_1)$
$Z_1$ và đều trống (ví dụ: ). $Z_2$ $S \subseteq U$

Bổ đề 2 : Nếu là như vậy mà , sau đó không phải là một tối thiểu, tập hợp con thiếu của . $S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2 \subseteq X$ $Z_2 \neq \emptyset$ $S$ $X$

Bằng chứng : Hãy được các yếu tố của được kết hợp với trong . Theo định nghĩa, không thể có các cạnh từ hay đến vì điều đó có nghĩa là đường dẫn -alternating từ đến các đỉnh trong . $M(Z_2)$ $Y$ $Z_2$ $M$ $U_1$ $Z_1$ $M(Z_2)$ $M$ $U_1$ $Z_2$

Nếu là một tập hợp tối thiểu, thiếu, thì mọi tập hợp con của có một kết hợp hoàn chỉnh. Cụ thể, có kết hợp hoàn chỉnh, giả sử . Theo quan sát trước đây của chúng tôi, chúng tôi lưu ý rằng phù hợp hoàn toàn này không sử dụng bất kỳ đỉnh nào trong . Do đó, kết quả khớp được hình thành bằng cách sử dụng để khớp với và để khớp với là kết hợp hoàn chỉnh cho , trái ngược với giả định rằng bị thiếu. $S$ $S$ $U_1 \cup Z_1$ $M_1$ $M_1$ $M(Z_2)$ $M_1$ $U_1 \cup Z_1$ $M$ $Z_2$ $S$ $S$ $\square$

Trong phiên bản trước của câu trả lời này, tôi đã bỏ qua trường hợp 2), giả sử rằng nó được che đậy bằng cách nào đó trong bằng chứng Bổ đề 1. Tuy nhiên, đây không phải là trường hợp. Có thể tồn tại các tập hợp tối thiểu, thiếu mà không giống . Sơ đồ sau đây cho thấy một ví dụ như vậy. Lấy các cạnh được in đậm làm khớp , chúng ta có thể thấy là một tập hợp tối thiểu, thiếu và không có dạng . Tôi vẫn chưa thể tìm thấy một đặc tính hiệu quả của các bộ thiếu hụt tối thiểu rơi vào trường hợp 2, vì vậy tôi hiện không thể hoàn thành bằng chứng này. $D_u$ $M$ $S = \{A, B, C\}$ $D_u$

— mẹ ơi
nguồn

Tôi nhận thấy câu trả lời đẹp này ngay bây giờ. Một câu hỏi để làm rõ: "đường dẫn xen kẽ" có thể có một cạnh không? Dường như bất kỳ cạnh đơn lẻ nào, dù ở M hay không, về mặt kỹ thuật là "M-xen kẽ". Nếu vậy, trường hợp 1 của bổ đề 2 có thể được rút ngắn hơn nhiều: nếu

v_{2}

$v_2$ không thể so sánh với

M

$M$ , sau đó nó ở trong

U_{1}

$U_1$ ; có một cạnh duy nhất giữa nó và

z

$z$ , vì thế

z

$z$ có thể truy cập từ

U_{1}

$U_1$ .

— Erel Segal-Halevi

Mặt khác, tôi không hiểu trường hợp 2 của Bổ đề 2: nếu chúng ta có

z, v_{2}, v_{3}

$z, v_2, v_3$ tất cả phù hợp bởi

M

$M$ , nhưng trong đường dẫn chúng được liên kết bởi các cạnh không trong

M

$M$ ? Sau đó, chúng ta có thể có một đường dẫn M xen kẽ từ

v_{2}

$v_2$ đến

u

$u$ , nhưng nó không mở rộng đến đường dẫn xen kẽ M từ

z

$z$ đến

u

$u$ .

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Về nhận xét đầu tiên của bạn, tôi không chắc là tôi hoàn toàn hiểu.

v_{2}

$v_2$ sẽ phải là một yếu tố của

Y

$Y$ vì vậy nó không thể ở trong

U_{1}

$U_1$ và không nhất thiết phải có một cạnh giữa

v_{2}

$v_2$ và

U_{1}

$U_1$ . Đối với bình luận thứ hai của bạn, tôi nghĩ rằng bạn có một điểm. Tôi đã không thể sao chép một phần của bằng chứng. Tôi sẽ cần phải suy nghĩ lại về phần này và xem nếu tôi có thể cứu vãn nó.

— mhum

liên quan đến bình luận đầu tiên: thực sự tôi đã không nhận thấy rằng

v_{2}

$v_2$ trong

Y

$Y$ , Cảm ơn bạn đã làm rõ.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Tôi có tin tốt và tin xấu. Tin tốt là tôi đã có thể sửa chữa khoảng trống trong bằng chứng mà bạn đã xác định bằng một quan sát đơn giản hơn nhiều. Tin xấu là khi xem xét công việc của tôi, tôi đã tìm thấy một vấn đề lớn hơn rất nhiều mà tôi chưa thể khắc phục.

— mhum