Minh một cây nhị phân có ít nhất

Tôi đang cố chứng minh rằng một cây nhị phân có $n$ nút có nhiều nhất là $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$lá. Làm thế nào tôi sẽ đi về làm điều này với cảm ứng?

Đối với những người đã theo dõi trong câu hỏi ban đầu về đống, nó đã được chuyển đến đây .

Bây giờ tôi giả sử rằng câu hỏi là như sau:

Cho một cây nhị phân có nút, chứng minh rằng nó chứa tối đa $n$lá.$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Hãy để chúng tôi làm việc với định nghĩa cây . Đối với T một cái cây như vậy, chúng ta hãy n T số nút trong T và l T số lượng lá trong T .$\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$$T$$n_T$$T$$l_T$$T$

Bạn đúng để làm điều này bằng cảm ứng, nhưng bạn sẽ cần cảm ứng cấu trúc theo cấu trúc cây. Đối với cây, điều này thường được thực hiện dưới dạng cảm ứng hoàn toàn trên chiều cao của cây.$h(T)$

Neo cảm ứng có hai phần. Đầu tiên, với ta có T = E m p t y với l T = n T = 0 ; Yêu cầu rõ ràng giữ cho cây trống. Với h ( t ) = 1 , tức là T = L e a f , chúng ta tương tự có l T = 1 = ⌈ n $h(t)=0$$T=\mathrm{Empty}$$l_T=n_T=0$$h(t)=1$$T = \mathrm{Leaf}$, vì vậy yêu cầu bồi thường giữ cho lá.$l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

Giả thuyết cảm ứng là: Giả định rằng yêu cầu bồi thường giữ cho tất cả (nhị phân) cây với h ( T ) ≤ k , k ≥ 1 tùy ý nhưng cố định.$T$$h(T)\leq k$$k\geq 1$

Đối với bước quy nạp, hãy xem xét một cây nhị phân tùy ý với h ( T ) = k + 1 . Như k ≥ 1 , T = N o d e ( L , R ) và n T = n L + n R + 1 . Vì L và R cũng là cây nhị phân (nếu không thì T sẽ không) và h ( L ) , h $T$$h(T)=k+1$$k\geq 1$$T=\mathrm{Node}(L,R)$$n_T = n_L+ n_R+1$$L$$R$$T$ , giả thuyết cảm ứng được áp dụng và có$h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

Vì tất cả các lá của đều ở L hoặc R , chúng ta có điều đó$T$$L$$R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

Sự bất bình đẳng được đánh dấu bằng có thể được kiểm tra bằng (bốn chiều) trường hợp phân biệt về việc liệu n L , n R ∈ 2 N . Bằng sức mạnh của cảm ứng, điều này kết luận bằng chứng.$(*)$$n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

Như một bài tập, bạn có thể sử dụng kỹ thuật tương tự để chứng minh các tuyên bố sau:

• Mỗi cây nhị phân hoàn hảo có chiều cao có 2 h - 1 nút.$h$$2^h-1$
• Mỗi cây nhị phân đầy đủ có một số nút lẻ.

Tôi hơi bối rối trước câu hỏi. Nếu bạn quan tâm đến cây có độ nhiều nhất là , đó là những gì Wikipedia nói bạn muốn, thì chúng ta gặp phải vấn đề là một cạnh có n = 2 nút và n = 2 lá, nhưng n / 2 = 1 . Dù sao, đây là một cái gì đó gần gũi có một cuộc tranh luận dễ dàng. $3$$n=2$$n=2$$n/2 = 1$

Đặt là một cây như vậy với n nút và lá L. Kể từ khi T là một cây, có n - 1 cạnh, và đếm đôi họ, chúng ta thấy rằng 2 n - 2 ≤ L + 3 ( n - L ) mà nói rằng 2 L ≤ n + 2 và đây là chặt chẽ trong hai ví dụ -vertex ở trên. Tôi đoán rằng nếu bạn muốn giả sử rằng có một gốc bậc hai và n ≥ 3 , thì bạn có thể tinh chỉnh đối số này để đưa ra 2 $T$$n$$L$$T$$n-1$