Bằng chứng đầy đủ NP của một vấn đề cây bao trùm

Tôi đang tìm kiếm một số gợi ý trong một câu hỏi của người hướng dẫn của tôi.

Vì vậy, tôi chỉ cần tìm ra vấn đề quyết định này là :$\sf{NP\text{-}complete}$

Trong biểu đồ , có một cây bao trùm trong chứa một bộ chính xác dưới dạng lá. Tôi đã tìm ra chúng ta có thể chứng minh rằng đó là bằng cách giảm đường dẫn Hamilton đến vấn đề quyết định này.$G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

Nhưng người hướng dẫn của tôi cũng yêu cầu chúng tôi trong lớp:

nó cũng sẽ là $\sf{NP\text{-}complete}$ nếu thay vì "bộ chính xác của $S$ ", chúng tôi làm

"bao gồm toàn bộ $S$ và các lá khác" hoặc "tập hợp con của $S$ "

Tôi nghĩ rằng "tập hợp con của S" sẽ là $\sf{NP\text{-}complete}$ , nhưng tôi không thể chứng minh điều đó, tôi không biết tôi có thể giảm vấn đề gì về vấn đề này. Đối với "bao gồm tập hợp $S$ ..." Tôi nghĩ rằng nó có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.

Tóm lại, dự đoán của bạn là chính xác. Với mục đích của câu trả lời này, chúng ta hãy gọi ba vấn đề trong câu hỏi như sau:

• Bình đẳng phiên bản: Cho một đồ thị và một bộ , quyết định xem có một cây bao trùm như vậy mà bộ lá trong là tương đương với . Như bạn đã nói, đây là NP-hoàn thành bằng cách giảm từ vấn đề đường dẫn Hamilton.$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• Tập hợp con phiên bản: Cho và như trên, quyết định xem có một cây bao trùm như vậy mà bộ lá trong là một tập hợp con của .$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• Superset phiên bản: Cho và như trên, quyết định xem có một cây bao trùm như vậy mà bộ lá trong là một superset của .$G$$S$$G$$T$$T$$S$

Để chứng minh rằng phiên bản tập hợp con đã hoàn thành NP, bạn vẫn có thể giảm vấn đề đường dẫn Hamitonia sang nó. Cố gắng sửa đổi bằng chứng về tính đầy đủ NP của phiên bản đẳng thức.

Để chứng minh rằng phiên bản superset có thể được giải trong thời gian đa thức, hãy thử tìm một điều kiện cần và đủ để cây như vậy tồn tại.$T$

Cả hai phiên bản (cũng như một số vấn đề khác về cây bao trùm) được nghiên cứu trong [SK05]. Nhưng tôi đoán rằng sẽ tốt hơn nếu bạn cố gắng tự giải quyết vấn đề trước khi xem các bằng chứng trong bài báo, bởi vì nhìn vào tờ giấy có thể là một kẻ phá hỏng lớn. Thật không may, tôi đã xem bài báo trước khi cố gắng tìm một thuật toán đa thức thời gian cho phiên bản superset!

[SK05] Mohammad Sohel Rahman và Mohammad Kaykobad. Sự phức tạp của một số vấn đề thú vị trên cây bao trùm. Thư xử lý thông tin , 94 (2): 93 Công nhân97, tháng 4 năm 2005. [ doi ] [ bản sao tác giả ]

Những gợi ý này không đủ để đưa tôi đến một giải pháp cho vấn đề thay thế của S - mặc dù các gợi ý này rất hữu ích và chính xác. Đây là chuyến tàu tư tưởng đã đưa tôi đến một giải pháp.

Điều gì xảy ra nếu bạn loại bỏ tất cả các đỉnh trong S khỏi G, (VS), và sau đó tìm một cây bao trùm T với DFS? Nếu có bất kỳ đỉnh nào chưa được kết nối trong G, giả sử v1; Điều đó nói gì về vai trò của ít nhất một trong các đỉnh trong S đã bị loại bỏ? Rằng nó nằm trong đường dẫn đến v1 từ một số đỉnh hiện có trong cây bao trùm. Vì vậy, nó không thể là một chiếc lá (vì lá không có con). Nếu không có các nút không được kết nối, điều đó có nghĩa là mọi đỉnh trong S có thể là một chiếc lá với điều kiện nó có một cạnh dẫn đến cây bao trùm. Các đỉnh trong S chỉ kết nối với các đỉnh khác trong S tất nhiên sẽ không có kết nối với cây bao trùm và sẽ vi phạm điều kiện. Vì vậy, có hai trường hợp để kiểm tra:

1. Nếu tất cả các nút không trong S được kết nối sau khi xóa S khỏi G và tìm cây bao trùm
2. Nếu mỗi nút trong S có thể được kết nối trực tiếp với cây bao trùm.