Thuật toán ngẫu nhiên cho 3SAT

Có một thuật toán ngẫu nhiên rất đơn giản, được đưa ra 3SAT, tạo ra một phép gán thỏa mãn ít nhất 7/8 mệnh đề (theo kỳ vọng): chọn một phép gán ngẫu nhiên. Một phép gán ngẫu nhiên thỏa mãn từng mệnh đề với xác suất 7/8 và do đó, độ tuyến tính của kỳ vọng cho thấy phần mệnh đề của các mệnh đề được thỏa mãn bởi một phép gán ngẫu nhiên là 7/8.

Điều này có thể được thực hiện một cách xác định? Nếu vậy, tại sao chúng ta quan tâm đến thuật toán ngẫu nhiên?

Thuật toán gán ngẫu nhiên có thể được khử từ (được xác định) bằng phương pháp kỳ vọng có điều kiện.

Hãy để dụ 3SAT bao gồm các điều khoản $C_1,\ldots,C_m$ . Trong thuật toán, chúng tôi sẽ gán giá trị cho các biến. Các điểm của một điều khoản $C$ được xác định như sau:

• Nếu $C$ hài lòng thì điểm của nó là 1.
• Nếu $C$ không hài lòng và có $k$ chữ không được gán thì điểm của nó là $1-2^{-k}$ .

Ban đầu số điểm của mỗi khoản là $1-2^{-3} = 7/8$ , và do đó tổng số điểm là $(7/8) m$ . Chúng tôi hiện giá trị gán cho biến $x_1,\ldots,x_n$ theo thứ tự. Giả sử chúng ta đã gán giá trị cho biến $x_1,\ldots,x_{i-1}$ , và tổng số điểm hiện nay là $S = S(C_1)+\cdots+S(C_m)$ . Đặt$S_0,S_1$ tổng số điểm nếu chúng ta gán các giá trị$0,1$ (tương ứng) cho$x_i$ . Tôi khẳng định rằng$S_0(C)+S_1(C) = 2S(C)$ đối với bất kỳ khoản$C$ , và do đó$S_0 + S_1 = 2S$ . Thật:

• Nếu $C$ được thỏa mãn (chỉ cho $x_1,\ldots,x_{i-1}$ ) hoặc không chứa $x_i$ sau đó $S_0(C) + S_1(C) = 2S(C)$ .
• Giả sử $C$ chứa $k$ chữ chưa được gán, bao gồm $x_i$ . Khi đó $S(C) = 1-2^{-k}$ , $S_0(C) = 1-2^{-(k-1)}$ và $S_1(C) = 1$ . Do đó $$S_0(C) + S_1(C) = [1 - 2 \cdot 2^{-k}] + 1 = 2(1 - 2^{-k}) = 2S(C).$$
• Một đối số tương tự hoạt động khi $C$ chứa $\bar{x}_i$ .

Kể từ khi $S_0 + S_1 = 2S$ , hoặc $S_0 \geq S$ hoặc $S_1 \geq S$ (có thể cả hai). Do đó có một số nhiệm vụ để $S$ như rằng sau khi chuyển nhượng, số điểm mới là ít nhất $S$ .

Điểm số ban đầu là $(7/8)m$ và các thuật toán Đảm bảo rằng điểm số không bao giờ giảm. Cuối cùng, điểm của mệnh đề $C$ là 1 nếu nó được thỏa mãn và $1-2^{-0}=0$ nếu không. Do đó, nhiệm vụ đáp ứng chính thức ít nhất $(7/8)m$ mệnh đề.

Cho rằng có một thuật toán xác định, tại sao chúng ta quan tâm đến thuật toán ngẫu nhiên? Có một số lý do:

1. Thuật toán ngẫu nhiên đơn giản hơn nhiều.
2. Thuật toán ngẫu nhiên có khả năng nhanh hơn.
3. Thuật toán ngẫu nhiên có thể được chuyển đổi thành một thuật toán xác định bằng cách sử dụng phương pháp kỳ vọng có điều kiện; chúng ta có thể nghĩ về nó như một công thức để xây dựng một thuật toán xác định.

Tổng quát hơn, người ta phỏng đoán rằng mọi thuật toán đa thời gian ngẫu nhiên cho một vấn đề quyết định đều có thể bị biến dạng (đây là phỏng đoán $\mathsf{P}=\mathsf{BPP}$ ). Các thuật toán ngẫu nhiên vẫn sẽ thú vị cho tất cả các lý do được liệt kê ở trên.