Có bộ đếm nào không thể đếm được không?

Một tập hợp có thể đếm được nếu nó có một mệnh đề với các số tự nhiên và có thể tính toán được (ce) nếu có một thuật toán liệt kê các thành viên của nó.

Bất kỳ tập hợp vô hạn tính toán hữu hạn nào cũng phải có thể đếm được vì chúng ta có thể xây dựng một mệnh đề từ bảng liệt kê.

Có bất kỳ ví dụ về các bộ đếm được mà không thể tính toán được không? Đó là, một sự lựa chọn giữa tập hợp này và các số tự nhiên tồn tại, nhưng không có thuật toán nào có thể tính được sự lựa chọn này.

computability semi-decidability

— Peter Olson
nguồn

Thuật ngữ được thiết lập là vô số tính toán . Nhiều người sẽ nói rằng "đếm được" và "vô số" là từ đồng nghĩa. Tôi chỉnh sửa câu hỏi cho phù hợp.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer, tính toán và đệ quy là đồng bộ hóa, phải không?

— rus9384

@ rus9384 Có. Về từ vựng, sự rõ ràng sẽ ngự trị, như Robert Irving Soare viết trong Turing-Post Relativized Computility and Interactive Computing (2011) : Đến năm 1995, sự nhầm lẫn đã trở nên không thể chịu đựng được. Tôi đã viết một bài viết về Khả năng tính toán và đệ quy cho Bull. của Sym. Logic (1996) về lịch sử và lý do khoa học về lý do tại sao chúng ta nên sử dụng tính toán có thể tính toán và không phải là rec reciveive và có nghĩa là có thể tính toán được. Nghĩa là Recursive có nghĩa là một cách dễ hiểu như Dedekind và Hilbert. Lúc đầu, rất ít người sẵn sàng thực hiện một sự thay đổi như vậy ...

— David Tonhofer

Câu trả lời:

Có bất kỳ ví dụ về các bộ đếm mà không thể đếm được?

Đúng. Tất cả các tập hợp con của số tự nhiên là có thể đếm được nhưng không phải tất cả chúng đều là vô số. (Bằng chứng: có vô số tập hợp con khác nhau của nhưng chỉ có rất nhiều máy Turing có thể đóng vai trò là điều tra viên.) Vì vậy, bất kỳ tập hợp con nào của mà bạn đã biết không thể đếm được đệ quy là một ví dụ - chẳng hạn như tập hợp tất cả các số mã Turing máy dừng lại cho mọi đầu vào. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$

— David Richerby
nguồn

@JorgePerez Không và không .

— David Richerby

Điều này chứng tỏ sự tồn tại, nhưng không đưa ra một ví dụ ..

— BlueRaja - Danny Pflughoeft

@ BlueRaja-DannyPflughoeft, đưa ra một ví dụ giống như liệt kê một ví dụ. "Bạn có thể đưa ra một ví dụ về một cái gì đó bạn không thể đưa ra một ví dụ về? Không? Vì vậy, không có gì bạn không thể đưa ra một ví dụ về." Đó là sự kiến tạo toán học một cách ngắn gọn.

— tự đại diện

Sẽ hình ảnh của hàm hải ly bận rộn

là một bộ như vậy? Kể từ

đang gia tăng nghiêm nó trivially tạo thành một song ánh với

, nhưng không có máy Turing có thể liệt kê

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

N

$\mathbb{N}$

Σ

$\Sigma$

— orlp

@Wildcard Không, đưa ra một ví dụ giống như xác định một ví dụ , phải không? Có những tập hợp có thể được định nghĩa nhưng không thể liệt kê bằng thuật toán, chẳng hạn như tập hợp tất cả các máy Turing không dừng lại.

— Tanner Swett

Có, mọi ngôn ngữ không thể giải quyết (không bán được) có tính chất này.

Ví dụ, hãy xem xét các thiết lập . $L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

Giả sử chúng ta có một thuật toán có thể liệt kê các thành viên của tập hợp này. Nếu một thuật toán như vậy tồn tại, chúng ta có thể sử dụng thuật toán này để giải quyết vấn đề tạm dừng với các đầu vào , với thuật toán sau: $x,M$

Xen kẽ giữa chạy máy cho bước trên , và liệt kê các th thành viên của . $M$ $n$ $x$ $n$ $L$

hoặc dừng lại hoặc không dừng trên . Nếu nó dừng lại, cuối cùng chúng ta sẽ tìm thấy một nơi chúng ta đạt đến trạng thái dừng. Nếu nó không dừng lại, thì cuối cùng chúng ta sẽ đạt được trong bảng liệt kê. $M$ $x$ $n$ $(M,x)$

Do đó, chúng tôi có một mức giảm, và chúng tôi có thể kết luận rằng không có bảng liệt kê như vậy tồn tại.

Lưu ý rằng việc liệt kê như vậy có thể tồn tại cho các vấn đề bán quyết định. Ví dụ: bạn có thể liệt kê tập hợp tất cả các cặp đầu vào máy tạm dừng bằng cách liệt kê tất cả các dấu vết có thể có của tất cả các lần thực hiện Turing Machine sau bước và lọc ra các cặp không kết thúc ở trạng thái tạm dừng. $n$

— jmite
nguồn

Không có ngôn ngữ với độ phức tạp không thể đếm được?

— rus9384

@ rus9384 Tôi không chắc ý của bạn là gì. "Không thể đếm được" là thước đo kích thước; "Độ phức tạp" là thước đo mức độ khó quyết định. Nhưng không có ngôn ngữ không thể đếm được của các chuỗi hữu hạn: nếu bạn muốn một ngôn ngữ không thể đếm được, bạn phải cho phép các chuỗi vô hạn (hoặc một "bảng chữ cái" không thể đếm được hoặc cả hai).

— David Richerby

@DavidR Richby, tốt, jmite tuyên bố rằng mọi vấn đề không thể giải quyết được hoạt động với các chuỗi hữu hạn? Tôi nghĩ rằng chỉ giữ cho mọi vấn đề không thể giải quyết được Turing .

— rus9384

@ rus9384 Bất kỳ ngôn ngữ nào trong bảng chữ cái hữu hạn đều có thể đếm được và khả năng tính toán thường bỏ qua các bảng chữ cái vô hạn. Xem thêm câu hỏi này .

— jmite

@ rus9384 có, một ngôn ngữ là một tập hợp các chuỗi hữu hạn trên một bảng chữ cái hữu hạn. Bất kỳ điều như vậy là có thể đếm được. Nếu bạn muốn có một ngôn ngữ không thể đếm được, bạn cần xóa một hoặc cả hai trường hợp "hữu hạn" khỏi định nghĩa đó. Nhưng nếu ai đó chỉ nói "ngôn ngữ", họ có nghĩa là một tập hợp các chuỗi hữu hạn trên một số bảng chữ cái hữu hạn.

— David Richerby

$\Sigma^*$ $\Sigma = \{0,1\}$ $L \subseteq \Sigma^*$ $\Sigma^*$

— fade2black
nguồn

Chúng tôi không nhất thiết phải đối phó với các chuỗi nhị phân. Có rất nhiều trường hợp chúng ta có thể quan tâm đến các chuỗi trên các bảng chữ cái khác và những người gọi khả năng tính toán là "lý thuyết đệ quy" có xu hướng xử lý trực tiếp với các bộ số tự nhiên. (Nghĩa là, các số được xem là nguyên thủy và không được mã hóa như, ví dụ, chuỗi nhị phân.)

— David Richerby

@DavidR Richby vài tuần trước, bạn đã cho tôi biết điều ngược lại trong các bình luận cho câu trả lời của Yu đạn. Và đây không phải là trường hợp tương tự đầu tiên.

— fade2black

Yuval đăng rất nhiều câu trả lời và tôi đăng rất nhiều bình luận, vì vậy bạn phải cụ thể hơn. Tôi chắc chắn đứng trước bình luận của tôi ở trên, vì vậy nếu tôi nói ngược lại vào một lúc nào đó, thì tôi đã sai hoặc nhầm lẫn hoặc bạn hiểu lầm tôi hoặc tôi đang nói về một kịch bản cụ thể hoặc một cái gì đó tương tự. Tôi xin lỗi nếu tôi làm bạn bối rối, đặc biệt là nếu tôi đã làm điều đó bằng cách nói điều gì đó không rõ ràng hoặc không chính xác!

— David Richerby

@DavidR Richby, trên thực tế, mỗi bảng chữ cái hữu hạn có thể được rút gọn thành nhị phân, vì vậy, tôi không hiểu vấn đề đó như thế nào. Hay chúng ta có bảng chữ cái vô hạn trong trường hợp này (trong đó mỗi số có ký hiệu duy nhất)?

— rus9384

@ rus9384 Câu trả lời dường như cho thấy rằng lý thuyết tính toán chỉ xem xét bảng chữ cái

{0, 1}

$\{0,1\}$ , nhưng điều đó không đúng: thậm chí không đúng khi lý thuyết tính toán chỉ xem xét các chuỗi. Tôi đồng ý rằng việc hạn chế các chuỗi nhị phân sẽ không tạo ra bất kỳ sự khác biệt đáng kể nào đối với lý thuyết, nhưng, ví dụ, thông thường sử dụng bảng chữ cái lớn hơn để làm cho kết quả dễ chứng minh hơn.

— David Richerby