Tìm một đa thức trong hai hoặc ba truy vấn

Hộp đen của có nghĩa là tôi có thể đánh giá đa thức tại bất kỳ điểm nào. $f(x)$ $f(x)$

Đầu vào : Một hộp đen của đa thức monic độ . $f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$ $d$
Đầu ra: Các hệ số của đa thức . $d$ $f(x)$

Thuật toán của tôi: hãy

f (x) = x^{d} + a_{d - 1} x^{d - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Đánh giá đa thức tại nhiều điểm bằng cách sử dụng hộp đen và có được một hệ phương trình tuyến tính. Bây giờ tôi có thể giải hệ phương trình tuyến tính để có được hệ số mong muốn. $\mathcal{f(x)}$ $d$

Tuy nhiên, trong trường hợp này, tôi cần nhiều truy vấn vào hộp đen. Tôi muốn giảm thiểu số lượng truy vấn . Có cách nào để giảm số lượng truy vấn xuống chỉ còn hai hoặc ba không? $\mathcal{O(d)}$

algorithms polynomials

— Phức tạp
nguồn

Bạn tiếp tục thay đổi câu hỏi. Có lẽ trước tiên bạn nên quyết định câu hỏi của bạn và chỉ sau đó hỏi nó. Nếu không, nó có thể hơi khó chịu cho người trả lời.

— Yuval Filmus

Những gì hiện phương tiện?

Z^{+}

$\mathbb{Z}^+$

— md5

bộ số nguyên dương

— phức tạp

BTW cho thuật toán của bạn, các hệ số có thể được tính bằng thay vì với công thức đóng của Lagrange.

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— md5

Chính xác cùng một câu hỏi, được diễn đạt khác nhau: math.stackexchange.com/questions/446130/iêu

— Nayuki

Bạn có thể xác định đa thức bằng hai truy vấn. Đầu tiên truy vấn đa thức tại để có giới hạn trên về giá trị của các hệ số. Bây giờ truy vấn đa thức tại bạn chọn và đọc các hệ số từ khai triển cơ sở . $x=1$ $M$ $x > M$ $x$

Thật kỳ lạ, nếu bạn cho phép các hệ số âm thì bạn không thể làm tốt hơn truy vấn . Thật vậy, tôi luôn có thể trả lời các truy vấn của bạn bằng 0 và điều này không sửa giá trị của đa thức vì tất cả các đa thức có dạng phù hợp với câu trả lời của tôi. $d$ $d-1$ $x_1,\ldots,x_{d-1}$ $(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

— Yuval Filmus
nguồn

Đối với tiêu cực, tôi nghĩ rằng loại lừa bổ sung của 2 có thể hoạt động.

— phức tạp

Không phải không có giới hạn trên về độ lớn của các hệ số. Đây là những gì bằng chứng của tôi cho thấy.

— Yuval Filmus

d - 1

$d-1$

x_{1}, \dots, x_{d - 1}

$x_1,\ldots,x_{d-1}$

f

$f$

d - 1

$d-1$

f

$f$