Làm thế nào để tổ hợp Y làm gương mẫu tính toán Lamb Lambda không nhất quán?

Trên trang Wikipedia cho Bộ kết hợp điểm cố định được viết văn bản khá bí ẩn

Bộ kết hợp Y là một ví dụ về những gì làm cho phép tính Lambda không nhất quán. Vì vậy, nó nên được xem xét với sự nghi ngờ. Tuy nhiên, an toàn khi xem xét tổ hợp Y khi chỉ được định nghĩa trong logic toán học.

Tôi đã tham gia vào một số loại tiểu thuyết gián điệp? Điều gì trên thế giới có nghĩa là những tuyên bố rằng -calculus là "không nhất quán" và nó nên được "xem xét với sự nghi ngờ" ?$\lambda$

Nó lấy cảm hứng từ các sự kiện có thật, nhưng cách nó được tuyên bố là hầu như không thể nhận ra và nên được xem xét với sự nghi ngờ, là vô nghĩa.

Tính nhất quán có một ý nghĩa chính xác trong logic: một lý thuyết nhất quán là một lý thuyết mà không phải tất cả các tuyên bố đều có thể được chứng minh. Trong logic cổ điển, đây là tương đương với sự vắng mặt của một mâu thuẫn, lý thuyết tức là một không phù hợp khi và chỉ khi có một tuyên bốví dụ rằng lý thuyết này chứng tỏ cả haivà nó phủ định.$A$$A$$\neg A$

Vì vậy, điều này có nghĩa gì liên quan đến tính toán lambda? Không có gì. Tính toán lambda là một hệ thống viết lại, không phải là một lý thuyết logic.

Có thể xem phép tính lambda liên quan đến logic. Coi các biến là đại diện cho một giả thuyết trong một bằng chứng, trừu tượng lambda là bằng chứng theo một giả thuyết nào đó (đại diện bởi biến) và ứng dụng như đưa ra một bằng chứng có điều kiện và bằng chứng của giả thuyết. Sau đó, quy tắc beta tương ứng với việc đơn giản hóa một bằng chứng bằng cách áp dụng modus ponens , một nguyên tắc cơ bản của logic.

Tuy nhiên, điều này chỉ hoạt động nếu bằng chứng có điều kiện được kết hợp với một bằng chứng về giả thuyết đúng. Nếu bạn có bằng chứng có điều kiện giả sử và bạn cũng có bằng chứng , bạn không thể kết hợp chúng lại với nhau. Nếu bạn muốn làm cho việc giải thích công việc tính toán lambda này, bạn cần thêm một ràng buộc chỉ những bằng chứng về giả thuyết phù hợp mới được áp dụng cho các bằng chứng có điều kiện. Đây được gọi là một hệ thống kiểu và ràng buộc là quy tắc gõ nói rằng khi bạn truyền một đối số cho một hàm, loại đối số phải khớp với loại tham số của hàm.$n=3$$n=2$

Sự tương ứng của Curry-Howard là sự song hành giữa các hệ thống tính toán và chứng minh đánh máy .

• các loại tương ứng với các câu lệnh logic;
• các điều khoản tương ứng với bằng chứng;
• các loại có người ở (tức là các loại có một thuật ngữ của loại đó) tương ứng với các tuyên bố đúng (tức là các tuyên bố sao cho có bằng chứng của tuyên bố đó);
• đánh giá chương trình (tức là các quy tắc như beta) tương ứng với các phép biến đổi của bằng chứng (đã chuyển đổi tốt hơn các bằng chứng chính xác thành bằng chứng chính xác).

Một phép tính được gõ có tổ hợp điểm cố định như cho phép xây dựng một thuật ngữ thuộc bất kỳ loại nào (thử đánh giá ), vì vậy nếu bạn thực hiện giải thích logic thông qua thư từ Curry-Howard, bạn sẽ có một lý thuyết không nhất quán. Xem liệu tổ hợp Y có mâu thuẫn với thư từ Curry-Howard không? để biết thêm chi tiết.$Y$$Y (\lambda x.x)$

Điều này không có ý nghĩa đối với phép tính lambda thuần túy, tức là đối với phép tính lambda không có loại.

Trong nhiều phép tính đánh máy, không thể xác định một tổ hợp điểm cố định. Những phép tính được đánh máy này rất hữu ích đối với việc giải thích logic của chúng, nhưng không phải là cơ sở cho ngôn ngữ lập trình hoàn chỉnh Turing. Trong một số phép tính đánh máy, có thể xác định một tổ hợp điểm cố định. Những phép tính được đánh máy này rất hữu ích làm cơ sở cho ngôn ngữ lập trình hoàn chỉnh Turing, nhưng không liên quan đến cách giải thích logic của chúng.

Túm cái vạy lại là:

• Tính toán lambda không phải là không nhất quán, đó là khái niệm không áp dụng.
• Một phép tính lambda được gõ mà gán một loại cho mỗi thuật ngữ lambda là không nhất quán. Một số phép tính lambda được gõ như thế, số khác làm cho một số thuật ngữ không thể hiểu được và nhất quán.
• Calculi lambda gõ không phải là duy nhất raison d'être cho phép tính lambda, và thậm chí mâu thuẫn gõ lambda sỏi là những công cụ rất hữu ích - chỉ cần không để chứng minh điều này.

Tôi muốn thêm một vào những gì @Giles nói.

Các Curry-Howard thư làm cho một song song giữa -terms (cụ thể hơn, các loại của -terms) và hệ thống bằng chứng.$\lambda$$\lambda$

Ví dụ: có loại (trong đó có nghĩa là "hàm từ đến "), tương ứng với câu lệnh logic . Hàm có loại , tương ứng với . Chúng ta có thể chuyển đổi bất kỳ loại lambda-tính toán nào thành một tautology logic bằng cách, theo một nghĩa nào đó, "khớp mẫu" trên các hàm.$\lambda x.\lambda y.x$$a \to (b \to a)$$a \to b$$a$$b$$a \implies (b \implies a)$$\lambda x.\lambda y.xy$$(a \to b) \to (a \to b)$$(a \implies b) \implies (a \implies b)$

Vấn đề phát sinh khi chúng ta xem xét tổ hợp Y, được định nghĩa là . Vấn đề phát sinh bởi vì chúng tôi hy vọng bộ kết hợp Y, với tư cách là bộ kết hợp "điểm cố định", có loại (vì nó lấy một hàm từ loại này sang loại đó và tìm một hàm cố định- điểm cho chức năng đó, có loại đó). Chuyển đổi điều này thành một câu lệnh logic mang lại . Đây là một mâu thuẫn:$\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$$(a \to a) \to a$$(a \implies a) \implies a$

Việc chấp nhận trong một hệ thống loại dẫn đến hệ thống loại không nhất quán. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể$(a \to a) \to a$

• Không cho phép các loại như trong một hệ thống loại (điều này mang lại cho bạn kiểu gõ đơn giản -calculus ) hoặc$(a \to a) \to a$$\lambda$
• Sống với hệ thống loại không nhất quán như một hệ thống suy luận logic.