"Định hướng" của việc cắt giảm?

Tôi đã thấy mình hơi bối rối với hướng giảm được sử dụng để cho thấy rằng một số ngôn ngữ nhất định không được đệ quy. Ví dụ: giả sử chúng tôi muốn xác định xem ( ) là không thể giải quyết được. Tôi biết chúng ta có thể cho rằng đó là quyết định và sau đó cố gắng xây dựng một người quyết định cho vấn đề chấp nhận, điều này là không thể. Nhưng mặc dù chúng tôi đang sử dụng Vấn đề chấp nhận ( ) để giúp giải quyết vấn đề có thể giải quyết được của Vấn đề dừng, chúng tôi đã giảm vấn đề chấp nhận sang vấn đề tạm dừng, phải không?$HALT_{TM}$$A_{TM}$

Đôi khi tôi có một chút bối rối khi gặp phải những câu hỏi yêu cầu tôi triển khai giảm; Tôi sẽ được yêu cầu giảm ngôn ngữ thành , nhưng điều đó có nghĩa là là một ví dụ đơn giản hơn của một vấn đề của , phải (hoặc ít nhất là nên)? Tôi cho rằng không thể giảm phiên bản đơn giản hơn của vấn đề thành phiên bản phức tạp hơn của vấn đề, tôi có tin đúng không? $x$$y$$y$$x$

Đừng lo lắng - mọi người đều bối rối bởi hướng giảm. Ngay cả những người đã làm việc trong các thuật toán và độ phức tạp trong nhiều thập kỷ thỉnh thoảng cũng có một câu, "Đợi đã, chúng ta đáng ra phải giảm đi$A$ đến $B$ hoặc là $B$ đến $A$?" chốc lát.

Giảm $A$ đến $B$ tạo ra một tuyên bố có dạng "Nếu tôi có thể giải quyết $B$, sau đó tôi cũng biết cách giải quyết $A$"." Giải quyết "theo nghĩa này có thể có nghĩa là" tính toán bằng bất kỳ máy Turing nào "hoặc" tính toán trong thời gian đa thức "hoặc bất kỳ khái niệm nào khác về giải pháp mà bối cảnh của bạn yêu cầu.

Điều này có vẻ trái ngược, vì "$A$ giảm xuống $B$"ngụ ý rằng giải quyết $B$ ít nhất là khó như giải quyết $A$, vì vậy bạn đã không giảm bớt khó khăn. Tuy nhiên, bạn có thể nghĩ về nó như giảm số lượng vấn đề bạn cần giải quyết. Hãy tưởng tượng rằng, vào đầu ngày, mục tiêu của bạn là tìm một thuật toán cho $A$ và một thuật toán cho $B$. Chà, bây giờ bạn đã tìm thấy một sự giảm từ$A$ đến $B$, bạn đã giảm mục tiêu của mình xuống chỉ là tìm một thuật toán cho $B$.

Không khi nào $A$ giảm xuống $B$, nó trực giác có nghĩa là $A$ đơn giản hơn $B$, Không phải hướng ngược lại.

Thực tế hơn: giả sử bạn muốn kiểm tra $x \in A$. Thay vì làm điều đó theo một cách nào đó, bạn biến đổi$x$ theo một số chức năng (giảm) $y=f(x)$. Bây giờ bạn phải kiểm tra$y \in B$.

Bạn chưa giải quyết được vấn đề ban đầu $x \in A$, kể từ bây giờ bạn còn lại một vấn đề khác cần giải quyết: $y \in B$. Điều này có nghĩa là bạn đã giảm vấn đề ban đầu sang vấn đề khác.

Ban đầu có vẻ phản trực giác khi chúng ta giảm những thứ dễ dàng thành những thứ phức tạp hơn. Thật vậy, thực tế, tại sao một người muốn giải quyết một nhiệm vụ dễ dàng giảm bản thân họ thành một nhiệm vụ khó khăn hơn? Thay vào đó, chúng ta có muốn giảm nhiệm vụ của mình thành một nhiệm vụ dễ dàng hơn không?

Tuy nhiên, sự thật là: nếu chúng ta có thể giải quyết một nhiệm vụ khó khăn $A$ giảm nó thành một nhiệm vụ dễ dàng $B$, điều này có nghĩa rằng $A$ không thực sự khó hơn $B$. Thật vậy, nếu giải quyết$A$ có thể đạt được bằng cách áp dụng chức năng khử, và sau đó giải quyết "dễ dàng hơn" $B$, nó có nghĩa là $A$ dễ hơn $B$ ở nơi đầu tiên

Giảm từ $A$ đến $B$ là một phần của công việc cần làm $A$ và những gì còn lại phải làm là $B$. Ví dụ: "lấy thức ăn" có thể được giảm xuống thành "nấu ăn" bằng cách "lấy nguyên liệu". Điều này có nghĩa là "nấu ăn" khó hơn "lấy thức ăn": Bất kỳ ai có thể "nấu" đều có thể "lấy thức ăn" (giả sử rằng việc giảm "lấy nguyên liệu" luôn hoạt động, ví dụ như sự hiện diện của một nơi cung cấp nguyên liệu miễn phí) .

Vẽ những thứ có xu hướng làm cho chúng dễ hiểu hơn:

Bạn muốn xây dựng hộp màu xanh (đại diện cho thuật toán nhận đầu vào $x$ và quyết định nếu $x\in A$). Việc giảm sau đó là hộp màu đỏ và một khi bạn đã có nó, điều duy nhất còn lại phải làm để xây dựng hộp màu xanh là xây dựng hộp màu xanh lá cây. Vì vậy, nếu bạn có một hộp màu đỏ (làm giảm$A$ đến $B$), xây dựng hộp màu xanh lá cây (quyết định $B$) ít nhất cũng khó như xây dựng cái màu xanh (quyết định đó $A$): Nếu bạn có một hộp màu xanh lá cây, rất dễ dàng để xây dựng một hộp màu xanh, trong khi nếu bạn xây dựng một hộp màu xanh, bạn có thể không thể xây dựng một hộp màu xanh lá cây.

Lưu ý rằng các lý do cho hai điều kiện xác định mức giảm xuất hiện trên bản vẽ này: thực tế là $f$ là tính toán có nghĩa là bạn có thể xây dựng hộp màu đỏ, trong khi thực tế là $f(x)\in B\iff x \in A$ có nghĩa là bạn có thể kết nối hai dây ngoài cùng bên phải.