Vấn đề đồ thị cảm ứng nặng nhất

Tôi quan tâm đến một vấn đề kết hợp như vậy: đưa ra một biểu đồ $G=(V, E)$ và một hàm trọng lượng $w_v: V \mapsto R$và $w_e: E \mapsto R$ chúng tôi đang hỏi về một sơ đồ cảm ứng như vậy $G' = (V', E')$ của $G$ tối đa hóa tổng: $\sum_{e \in E'} w_e(e) + \sum_{v \in V'} w_v(v)$.

Vấn đề là NP-H ard (bằng cách giảm từ vấn đề clique tối đa), vì vậy mọi đề xuất cho các giải pháp gần đúng (thậm chí tham lam) và liên kết đến tài liệu sẽ được đánh giá cao.

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ Chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt của vấn đề trong đó đỉnh có trọng số âm và các cạnh có trọng số dương. Vì thế$w_v: V\to \R^-$ và $w_e: E\to \R^+$.

Tìm sơ đồ con cảm ứng nặng nhất tương đương với một phút$st$tính toán cắt trên một biểu đồ phù hợp. Chúng tôi sẽ đề cập đến các slide về sơ đồ con dày đặc nhất trong bài trình bày này .

Thật vậy, giảm thiểu $w_e(E(V'))+w_v(V')$ tương đương với giảm thiểu $(-w_v(V')) + \frac{1}{2} w_e(E(V',\bar{V'})) + \frac{1}{2} \sum_{v\in \bar{V'}} \deg(v)$. (Lưu ý mức độ ở đây là mức độ có trọng số, đó là$\deg(v) =\sum_{e:v\in e} w_e(e)$) Đạo hàm của thực tế trên tương tự như slide 21. Sau đó, điều này có thể được giải quyết dễ dàng bằng cách mô hình hóa nó dưới dạng tối thiểu$st$-cut trong một số biểu đồ khác (xem slide 22). Điều quan trọng là phải có trọng số đỉnh âm và trọng số cạnh dương để giảm công việc.