Mức độ Turing không thể so sánh với bất kỳ bước nhảy có thể đếm được của một mức độ Turing khác?

Trong số các độ Turing có độ có dạng , ví dụ , , , v.v.$0^n$$0$$0'$$0''$

---

Tôi sẽ chỉ chứng minh điều này nhanh chóng vì sự hoàn thiện. Hy vọng rằng không ai có bất kỳ điều gì với bằng chứng ngắn này:

Bổ đề: Bất kỳ bộ số tự nhiên có thể đếm được nào cũng có thể được mã hóa thành một bộ số tự nhiên duy nhất, sao cho mỗi bộ gốc có thể được giải mã bằng máy Turing.

Chứng minh: Đặt $S$ là tập hợp các tập hợp của chúng ta, sao cho mỗi $S_n \in S$ là một tập hợp các số tự nhiên. Xác định $O = \{k \cdot 2^{n+1} - 2^n | k \in S_n \}$ .

Do đó, $S_n = \{ k | k \cdot 2^{n+1} - 2^n \in O \}$ . Rõ ràng, đối với mỗi $S_n$ có một máy Turing rằng tính $S_n$ đưa ra một oracle cho $O$ .

Định lý nhỏ: Bất kỳ tập hợp độ Turing nào có thể đếm được đều có giới hạn trên.

Chứng minh: Gọi $D$ là tập hợp độ có thể đếm được của chúng ta. Do đó, mỗi $D_n \in D$ là một tập hợp các số tự nhiên có thể đếm được. Đặt $E_n$ là một tập hợp các số tự nhiên mã hóa các phần tử của $D_n$ và đặt $E$ là một tập hợp các số tự nhiên mã hóa tất cả $E_n$ .

Bất kỳ tập hợp nào ở bất kỳ độ cũng có thể được tính bằng cách giải mã hai lần liên tiếp, cũng như độ Turing, . Do đó là một trên ràng buộc của .$D_n$$E$$D_n \leq [E]$$[E]$$D$

---

Đặt là giới hạn trên của như được mô tả ở trên. Tất nhiên, chúng ta có thể thực hiện bước nhảy Turing để có được mà chúng ta sẽ viết , và cứ thế để có được bộ độ Turing có thể đếm được, . Lấy giới hạn trên của những điều này, chúng ta có được , và tất nhiên, hơn nữa, lấy giới hạn trên của chúng tôi có được mức độ Turing . Nói chung đối với bất kỳ số thứ tự có thể đếm được , chúng ta có thể xác định mức độ .$0^\omega$$\{0, 0', 0'', ... \}$$0^\omega$$(0^\omega)'$$0^{\omega + 1}$$0^{\omega + n}$$0^{2 \omega}$$\{ 0, 0^{\omega}, 0^{2 \omega}, ... \}$$0^{\omega^\omega}$$\beta$$0^\beta$

Được biết, đối với mỗi khác không Turing độ , có một Turing độ mà nó là vô song. Tuy nhiên, đối với bất kỳ mức độ Turing nào (và tôi đặc biệt quan tâm đến ), có mức độ Turing không thể so sánh với cho tất cả các quy tắc có thể đếm được không?$a$$b$$a$$0'$$b$$a^\beta$$\beta$

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn là một tiếng vang lớn: NÓ SỞ HỮU ! Điều này đưa chúng ta vào một số lý thuyết tập hợp, trong đó - trong khi thú vị - là một chút lạc đề có lẽ dành cho CS; Để giải quyết vấn đề này, tôi đã thực hiện phần đầu tiên trong câu trả lời của mình về lý thuyết tính toán, và sau đó thêm một phần riêng biệt về mặt lý thuyết tập hợp của mọi thứ.

---

Trước khi chúng tôi thậm chí có thể giải quyết câu hỏi của bạn, hóa ra có một sự tinh tế đáng ngạc nhiên ở đây:

Đối với một số thứ tự có thể đếm được tùy ý, không phải lúc nào cũng rõ ràng cách xác định .$\alpha$$0^{(\alpha)}$

Điều này được xử lý khác nhau tại mathoverflow và math.stackexchange; Tuy nhiên, những gì tôi đã viết dưới đây nên được khép kín.

Vấn đề là các bài thuyết trình (hoặc, về cơ bản giống hệt, các chuỗi cơ bản ). Nói chung, giả sử là một giới hạn thứ tự, chúng tôi đã xác định cho mỗi và chúng tôi muốn xác định là tập hợpTuy nhiên, bộ này không phải là một bộ số tự nhiên. Sửa bản đồ , chúng ta có thể "diễn giải" dọc theo theo cách tự nhiên:Đây là vấn đề: cái gì$\lambda$$0^{(\alpha)}$$\alpha<\lambda$$0^{(\lambda)}$

$$Z_\lambda=\{(i, \alpha):i\in\omega,\alpha<\lambda, i\in0^{(\alpha)}\}.$$ $f:\lambda\rightarrow\omega$$Z_\lambda$$f$ $$Z_\lambda^f=\{(i, j): i\in\omega, j\in ran(f), i\in 0^{(f^{-1}(j))}\}.$$ $f$ nào chúng ta muốn sử dụng? Các lựa chọn khác nhau của sẽ mang lại các bộ khác nhau và có khả năng độ Turing khác nhau. Đây không phải là một vấn đề trong việc nấu ăn , vì chỉ có một điều rõ ràng phải làm, nhưng khi chúng tôi cố gắng đi xa hơn, vấn đề sẽ làm đau đầu.$f$$0^{(\omega)}$

Nói một cách nhanh chóng, ban đầu có một cách tiếp cận thay thế có vẻ đầy hứa hẹn: chỉ cần xác định cho một giới hạn thứ tự là giới hạn trên tối thiểu của ! Kết hợp với mệnh đề , điều này dường như đưa ra một định nghĩa đệ quy hoạt động cho tất cả các số thứ tự đếm được. Tuy nhiên, hóa ra toàn bộ cuộc tấn công này được xây dựng dựa trên giả định sai: không phải là giới hạn trên của trong Turing độ, và trên thực tế không giới hạn tối thiểu trên không bao giờ tồn tại (đây là "định lý cặp chính xác" của Spector). Vì vậy, chúng tôi nhất thiết phải làm một số công việc.$0^{(\lambda)}$$\lambda$$\{0^{(\alpha)}:\alpha<\lambda\}$$0^{(\beta+1)}=(0^{(\beta)})'$$0^{(\omega)}$$\{0^{(n)}:n<\omega\}$

Tại thời điểm này, bạn nên quay lại và cố gắng phát triển một lý thuyết về các bước nhảy lặp đi lặp lại "từ đầu". Đây là lý thuyết siêu số học do Kleene và được trình bày chi tiết trong phần đầu của cuốn sách của Sacks; Tôi sẽ chỉ đưa ra một độ bóng nhanh chóng (và thời tiền sử).

Các bộ định nghĩa ở trên là trực giác những gì chúng ta nhận được nếu chúng ta lặp nhảy không cùng một chỉ thứ tự nhưng cùng một rõ ràng cũng đặt hàng của một tập hợp các số tự nhiên (nghĩa là, một bản sao của thứ "dán nhãn" một cách thích hợp ). Để làm cho điều này chính xác, giả sử là một thứ tự tốt của một số tập hợp số tự nhiên (lưu ý rằng xác định ). Thật dễ dàng để chỉ ra rằng có một tập hợp duy nhất gồm các cặp số tự nhiên có thứ tự với các thuộc tính sau:$Z_\lambda^f$$R$$D$$R$$D$$J_R$

• $(x,y)\in J_R$ chỉ khi .$x\in D$

• Nếu là bộ xử lý của , thì iff tạm dừng, trong đó .$u$$R$$v$$(u, y)\in J_R$$\Phi_y^{J_R[v]}$$J_R[v]=\{z: (v, z)\in J_R\}$

• Nếu là -limit, thì$u$$R$$J_R[u]=\{(v, y): v<_Ru, y\in J_R[v]\}.$

Đây là những gì bạn nhận được, theo trực giác, nếu bạn lặp lại bước nhảy dọc theo bắt đầu với khoảng trống (thực tế là chúng ta đã bắt đầu với khoảng trống được xây dựng bí mật đến dấu đầu dòng cuối cùng, vì nếu là phần tử -least thì J_R bị buộc phải trống, chúng ta có thể tương đối hóa bằng cách bắt đầu với một cột không trống) .$R$$u$$R$$J_R[u]$

Nếu là "tốt đẹp", thì điều này cực kỳ tốt:$R$

Giả sử là thứ tự tốt của các bộ của các số tự nhiên sao cho mỗi có thể tính toán được, các phép toán kế tiếp tương ứng của chúng có thể tính toán được và các bộ phần tử giới hạn tương ứng của chúng có thể tính toán được. Sau đó, nếu và có cùng thứ tự, chúng ta có .$R_0, R_1$$D_0, D_1$$R_i$$R_0$$R_1$$J_{R_0}\equiv_TJ_{R_1}$

Các điều kiện ở trên mạnh hơn là chỉ yêu cầu các đơn đặt hàng có thể tính toán được, nhưng trên thực tế, mọi thứ tự có thể tính toán đều là thứ tự (không tính toán được!) Để sắp xếp thứ tự tính toán "đẹp" như vậy. Vì vậy, dựa trên điều này, sẽ hợp lý khi định nghĩa cho một "thứ tự tính toán" là mức độ Turing duy nhất của "chuỗi nhảy" cùng với "bản trình bày đẹp" của . Tổng quát hơn, đối với bất kỳ Turing độ nó làm cho tinh thần để nói về mức độ cho bất kỳ thứ tự với trình bày -computable.$0^{(\alpha)}$$\alpha$$\alpha$$d$$d^{(\alpha)}$$\alpha$$d$

Các tập hợp tính toán từ đối với một số tính toán là các tập hợp số học ; hyperarithmetality có một số đặc tính tương đương và là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết tính toán hiện đại, và cũng rất quan trọng trong lý thuyết tập hợp mô tả. Nhưng điều này chỉ đưa chúng ta qua vô số chức vụ; hầu hết các chức vụ có thể đếm được không có bài thuyết trình tính toán! Phần tối cao của các số thứ tự tính toán được ký hiệu là " " - nó lớn hơn nhiều so với các bộ phổ biến khác như , , v.v., nhưng vẫn có thể đếm được, và thực sự khá nhỏ trong số các số thứ tự có thể đếm được từ các quan điểm khác nhau trong logic$0^{(\alpha)}$$\alpha$$\omega_1^{CK}$$\epsilon_0$$\Gamma_0$. Và không khó để nấu hai độ Turing, cả hai đều không phải là siêu số học so với cái kia, vì chúng ta chỉ đạt "mức cao đáng kể". Chúng ta có thể làm tốt hơn không?

Để đi xa hơn, chúng ta cần đi vào lý thuyết tập hợp, vì vậy tôi sẽ đặt một đường ngang ở đây:

---

Được rồi, hãy nói về lý thuyết tập hợp. Hóa ra chúng ta có thể tiếp tục bước nhảy một cách tự nhiên qua . Tuy nhiên, điều này trở nên phức tạp khá nhanh. Ý tưởng xuất phát từ vũ trụ có thể xây dựng của Godel , ý tưởng là mỗi bước bổ sung trong -hierarchy giống như thực hiện những bước nhảy của -many về những gì bạn có cho đến nay (vì bạn đang nhìn vào mọi thứ có thể xác định trước theo những gì bạn có cho đến nay). Trêu chọc này ra một cách chính xác được chúng tôi quan niệm về mastercodes . Tôi sẽ không định nghĩa chúng chính xác ở đây, nhưng Hodes có một bài viết xuất sắc về chủ đề này .$\omega_1^{CK}$$L$$\omega$

Bây giờ, các mã chủ có nhiều tính năng khó chịu và tinh vi, nhưng chúng cho phép chúng tôi vô tình lặp đi lặp lại bước nhảy bắt đầu với khoảng trống cho đến , thứ tự đầu tiên mà vũ trụ xây dựng nghĩ là không thể đếm được. (Nói chung, với một mức độ chúng ta có thể "làm mã hóa" một cách vô thức lên đến , thứ tự đầu tiên mà mô hình bên trong nhỏ nhất của ZFC chứa nghĩ là không thể đếm được.)$^*$$\omega_1^L$$d$$\omega_1^{L[d]}$$d$

Nếu vũ trụ có thể xây dựng xảy ra là tất cả - đó là, nếu V = L - thì chúng ta đang đào:

Mỗi sản tại là tính toán từ số - theo nghĩa mastercodes - đối với một số .$L$$0^{(\alpha)}$$\alpha<\omega_1^L$

Nói chung, "có thể truy cập thông qua mã chính" chỉ cho chúng ta khái niệm về khả năng xây dựng tương đối : iff iff có trong mọi mô hình bên trong có chứa iff có thể tính toán được từ một số cho .$x\le_Ly$$x\in L[y]$$x$$y$$x$$y^{(\alpha)}$$\alpha<\omega_1^{L[y]}$

Tuy nhiên, nó hoàn toàn có thể - có nghĩa là, phù hợp liên quan đến ZFC - đó là rất xa . Ví dụ: có thể đếm được và thực sự "thực" có thể xuất hiện khá lớn theo quan điểm của ! Thật vậy, nó chỉ ra rằng các giả thuyết lý thuyết tập hợp mạnh mẽ có thể ngăn chúng ta đi rất xa với ý tưởng này:$V$$L$$\omega_1^L$$\omega_1$$L$

Nói rộng ra, nếu các hồng y lớn tồn tại thì sẽ không có sự gia tăng dễ dàng nào của các mức độ Turing. (Điều này được tham số hóa: tăng cường các hồng y lớn và chúng tôi càng ngày càng không thể xác định được.)$\omega_1$

Ngay cả khi giả sử và loại trừ bất cứ điều gì (như các hồng y lớn) sẽ tăng cường sức mạnh nhất quán, -degrees vẫn có thể khá hoang dã, thông qua việc ép buộc . Cụ thể, nếu là chung Cohen (giả sử) so với , thì và ; chúng ta có thể nhận được tổng quát Cohen mà không cần thay đổi , vì vậy trong trường hợp này không thể truy cập được từ người khác qua nhiều lần nhảy, giả sử chúng ta mua "bức tranh tổng thể" (và nếu không, chúng ta cần phải nấu một bức tranh khác!) .$\omega_1^L=\omega_1$ $\le_L$$c_0, c_1$$L$$c_0\not\in L[c_1]$$c_1\not\in L[c_0]$$\omega_1$

---

$^*$ Chúng thực sự chỉ có ý nghĩa ở mức độ , không phải là tập hợp tự nhiên , vì vậy theo nghĩa đó, "vấn đề trình bày" đã không được tránh; xem phần giữa của trang 207 của bài viết của Hodes. Đáng ghét hơn, Định lý 8 (và xem phần dưới cùng của trang 204 cho định nghĩa liên quan) cho thấy rằng ... OK, không có cách nào hay để nói điều này, và tôi không thể bỏ qua nó nữa: nhảy mastercode không hoàn toàn đơn điệu . Chúng ta có thể có nhưng ở một mức độ . Aaargh.$\alpha<\beta$$a^{(\beta)}=0^{(\alpha)}$$a$