Làm thế nào để chứng minh rằng phép nhân ma trận của hai ma trận 2x2 không thể được thực hiện trong ít hơn 7 phép nhân?

Trong phép nhân ma trận của Strassen, chúng tôi nêu một thực tế kỳ lạ (ít nhất là với tôi) rằng phép nhân ma trận của hai 2 x 2 mất 7 phép nhân.

Câu hỏi: Làm thế nào để chứng minh rằng không thể nhân hai ma trận 2 x 2 trong 6 phép nhân?

Xin lưu ý rằng ma trận là số nguyên.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Phức tạp
nguồn

Có các thuật toán nhân ma trận khác có thể nhanh hơn. Bài viết trên web này từ lớp Stanford CME 323 cung cấp chi tiết về thuật toán của Strassen, Phép nhân ma trận: Thuật toán của Strassen . Có một chủ đề Wikipedia, thuật toán Strassen đi sâu vào chi tiết và có liên kết đến thông tin bổ sung.

— Richard Chambers

@RichardChambers Lưu ý rằng thuật toán của Strassen có

phép nhân. Nó có vẻ hợp lý với tôi rằng giới hạn dưới này là đúng.

7

$7$

— Stella Biderman

Như đã nói câu hỏi này là sai. Có rất nhiều ma trận có thể được nhân với

phép nhân. Bạn muốn yêu cầu một bằng chứng rằng, trong trường hợp xấu nhất, phải mất 7 aka tồn tại một số ma trận yêu cầu 7

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBerman vâng Tôi thấy rằng Strassen có 7 phép nhân. Tôi đã không nhìn vào cái khác, nhanh hơn và các thuật toán với độ phức tạp thấp hơn. Từ những gì tôi có thể nói họ sử dụng cách tiếp cận ma trận con giống như của Strassen nhưng tôi không chắc chắn. Tôi chỉ thêm một số thông tin bổ sung về Strassen.

— Richard Chambers

Dường như có một cái gì đó thiếu từ câu hỏi của bạn. Tôi có thể dễ dàng đưa ra một thuật toán có thể nhân ít nhất một số ma trận với 0 phép nhân. Có lẽ có một hạn chế mà bạn không đề cập đến.

— Jörg W Mittag

Đây là kết quả cổ điển của Winograd: Nhân các ma trận 2x2 .

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
nguồn

Bạn có thể tìm thấy kết quả tại:

S.Winograd, Nhân các ma trận 2 × 2 , Đại số tuyến tính và Appl. 4 (1971), 381 Từ388, MR0297115 (45: 6173).

— Stella thầu
nguồn