Tổ hợp Y, thành phần chức năng

Tôi đang cố gắng để hiểu các tổ hợp Y. Bạn có thể giải thích tại sao những điều sau đây là tương đương

(Y (f ∘ g))   
(f (Y (g ∘ f)))

(Y là kết hợp điểm cố định)

Nó phụ thuộc vào khái niệm tương đương bạn đang sử dụng.

Giả sử chúng ta so sánh các thuật ngữ này theo ngữ nghĩa biểu thị của chúng, trên các miền -CPO. Suy ra với ngữ nghĩa của các điều khoản . Do đó, là các hàm liên tục Scott. Sau đó, chúng ta có rằng ngữ nghĩa của là, theo định lý điểm cố định của Kleene$\omega$$F,G$$f,g$$F,G$$Y(f \circ g)$

$$(1) = [\![ Y(f\circ g) ]\!] = \bigsqcup\{ \bot, F(G(\bot)),F(G(F(G(\bot)))),\ldots\}$$ trong đó biểu thị supremum / giới hạn trên thấp nhất.$\bigsqcup$

Tương tự, chúng tôi nhận được

$$(2) = [\![ f(Y(g\circ f) ]\!] = F(\bigsqcup\{ \bot, G(F(\bot)),G(F(G(F(\bot)))),\ldots\})$$

Theo tính liên tục, chúng tôi nhận được

$$(2) = \bigsqcup\{ F(\bot), F(G(F(\bot))),F(G(F(G(F(\bot))))),\ldots\}$$

Sau đó, người ta có thể chứng minh rằng bằng cách quan sát rằng bất kỳ phần tử nào của một chuỗi bất kỳ được giới hạn ở trên bởi một số phần tử của chuỗi khác. Thật vậy, chúng ta có định rằng . Hơn nữa, đang ổn định rằng , kết luận bằng chứng.$(1)=(2)$

$$\bot \sqsubseteq F(\bot), F(G(\bot)) \sqsubseteq F(G(F(\bot))), \ldots$$ $(1)\sqsubseteq(2)$ $$F(\bot) \sqsubseteq F(G(\bot)), F(G(F(\bot))) \sqsubseteq F(G(F(G(\bot)))), \ldots$$ $(2)\sqsubseteq(1)$

---

Ít chính thức hơn, thuật ngữ biểu thị ứng dụng vô hạn và tương tự, biểu thị Điều đó khá tự nhiên, sau đó, việc áp dụng một duy nhất trên đầu thứ hai sẽ dẫn đến kết quả đầu tiên. Bằng chứng lý thuyết miền trên cung cấp một bằng chứng chính thức về điều đó.$Y(f \circ g)$

$$f(g(f(g(\ldots))))$$ $Y(g \circ f)$ $$g(f(g(f(\ldots))))$$ $f$