Có bất kỳ automata không hữu hạn?

Trong lý thuyết automata, tất cả chúng ta đều đọc automata là automata hữu hạn, ngay từ đầu. Những gì tôi muốn biết là, tại sao automata là hữu hạn? Để rõ ràng, cái gì trong một máy tự động là hữu hạn - bảng chữ cái, ngôn ngữ, chuỗi được tạo bằng các biểu thức thông thường, hoặc cái gì? Và có (về lý thuyết) bất kỳ automata không hữu hạn?

Tất cả các mô hình tự động mà bạn thường gặp phải được trình bày chính xác; nếu không thì sẽ có rất nhiều, điều đó có nghĩa là chúng không bị bắt bởi các mô hình Turing-perfect. Hoặc, trong CS-think, họ sẽ vô dụng¹.

"Máy tự động hữu hạn" được gọi là hữu hạn vì chúng chỉ có một bộ cấu hình hữu hạn (chuỗi đầu vào sang một bên). Chẳng hạn, Pushdown automata có một ngăn xếp có thể có nội dung tùy ý - có vô số cấu hình có thể có.

Ghi chú: Cấu hình của các thiết bị PDA vẫn được trình bày chính xác! Trên thực tế, bất kỳ mô hình tính toán nào nằm trong khả năng tính toán của Turing đều phải có cấu hình có thể biểu diễn chính xác, nếu không, các TM sẽ không thể mô phỏng chúng.

1. Tôi có ý thức bỏ qua sự siêu tính ở đây cho mục đích của câu hỏi này.

Tên đầy đủ là " automata trạng thái hữu hạn ". Phần quan trọng là trạng thái của máy tự động có thể được đặc trưng hoàn toàn bởi một yếu tố của một số tập hợp hữu hạn của các trạng thái riêng biệt. Điều này có nghĩa là nếu trạng thái (có liên quan) của máy tự động liên quan đến biến có giá trị thực thì sẽ có vô số trạng thái tiềm năng (đặt tính hữu hạn của biểu diễn dấu phẩy động) và máy tự động không hữu hạn.

Điều này có thể không bao giờ xảy ra trong khoa học máy tính lý thuyết, nhưng nó không quá kỳ lạ trong lĩnh vực mô hình hóa các chuỗi số thực. Các mô hình Markov ẩn có thể được sử dụng để mô hình một chuỗi số là đầu ra của hệ thống xác suất bao gồm một bộ lọc đầu ra cho mỗi trạng thái của mô hình Markov (rời rạc, hữu hạn) với các trạng thái không quan sát được. Các bộ lọc tính toán đầu ra có giá trị thực tiếp theo từ một vectơ của các đầu ra trước đó (mô hình "tự phát"), nhưng mô hình Markov cơ bản là hữu hạn do xác suất chuyển tiếp của nó chỉ phụ thuộc vào trạng thái Markov hiện tại.

Tuy nhiên, bài viết này ( toàn văn ) phát triển một biến thể trong đó xác suất chuyển tiếp cũng phụ thuộc vào vectơ số thực của các đầu ra trước đó. Trạng thái của hệ thống này là sự kết hợp giữa trạng thái Markov rời rạc và bộ số thực ("mô hình Markov trạng thái hỗn hợp"), do đó nó có thể ở vô số trạng thái khác nhau.

Nói tóm lại, automata không hữu hạn được xác định rõ về mặt lý thuyết và đôi khi còn gặp phải.

Trong một máy tự động hữu hạn, có khá nhiều độ chính xác: số lượng trạng thái, kích thước của bảng chữ cái bên dưới và độ dài của chuỗi được máy chấp nhận.

Bạn chắc chắn có thể nới lỏng điều kiện hữu hạn trên những điều này bằng cách cho phép, máy có vô số trạng thái nhưng nếu bạn làm như vậy, máy kết quả sẽ trở nên không thú vị, theo nghĩa là các máy đó có thể được thiết kế để chấp nhận mọi ngôn ngữ.

Trên thực tế, trong lý thuyết automata (khởi hành rất nhiều từ nguồn gốc của Kleene, Rabin và Scott), có rất nhiều hình thức automata không hữu hạn. Điều này phát sinh vì một số lý do.

Chẳng hạn, Pushdown automata là automata có một bộ cấu hình vô hạn (những trạng thái này có số lượng trạng thái hữu hạn, nhưng thực tế là chúng nên được coi là 'automata vô hạn').

Trong cùng một hướng, có các ví dụ khác về automata vô hạn mà không gian trạng thái là vô hạn, nhưng có rất nhiều cấu trúc. Ví dụ, người ta xem xét lớp automata có không gian vectơ (chiều hữu hạn) và là chức năng chuyển đổi ánh xạ tuyến tính (cộng với một số điều ban đầu là một điều cuối cùng). Chúng được gọi là automata có trọng số trên một trường cơ sở (do Schützenberger năm 61). Đây có thể được giảm thiểu và kiểm tra sự bình đẳng. Các ví dụ khác bao gồm automata đăng ký (các automata này có một bộ thanh ghi hữu hạn và hoạt động trên một bảng chữ cái vô hạn: chúng có thể so sánh các chữ cái với các thanh ghi và lưu trữ các chữ cái trong các thanh ghi), và dạng automata danh nghĩa hiện đại hơn(có cùng tính biểu cảm, nhưng có nền tảng và tính chất tốt hơn). Sự trống rỗng của automata như vậy là có thể quyết định.

$A^*$$a$$u$$ua$và một nhà nước chấp nhận nếu nó thuộc về L). Ngoài ra còn có một đối tượng cuối cùng (có ngôn ngữ trạng thái!). Sự tồn tại của hai đối tượng này là một cách để giải thích ở mức độ cao tại sao automata xác định có thể được giảm thiểu và được liên kết chặt chẽ với sự đồng dạng Myhill - Nerode.

Để kết luận, có automata vô hạn, nhưng các mô hình được nghiên cứu đầu tiên trong một bài giảng luôn luôn là trạng thái hữu hạn.

Tôi nghĩ rằng câu hỏi giả định rằng kết luận rằng không có automata trạng thái vô hạn khi có, chúng chỉ không đáng để đưa lên.

Trong Lý thuyết Automata, có một hệ thống phân cấp quyền hạn của các mô hình ảo khác nhau. Cái tôi học được có 4 cái (mà tôi nhớ, đã có một thời gian), cái tôi tìm thấy trên Wikipedia có 5. Điểm yếu nhất trong cả hai máy tự động hữu hạn và mạnh nhất là máy Turing. Có một số khái niệm về một cấp độ mạnh hơn các máy Turing được gọi là siêu tính toán. Nhiều mô tả khác nhau về máy ảo rơi vào một trong những cấp độ này. Máy Turing đặc biệt được biết đến với nhiều mô hình đều có cùng mức độ tính toán.

Một automata trạng thái vô hạn, ít nhất một định nghĩa chính thức, sẽ rơi vào một trong những cấp độ này. Có thể có một điều gì đó thú vị khi chỉ ra một định nghĩa khắt khe nhất định về một máy tự động trạng thái vô hạn phù hợp với một trong các cấp độ này, nhưng ngoài ra, nó sẽ không được sử dụng nhiều khi có nhiều máy ảo được nghiên cứu kỹ lưỡng hơn đại diện cho từng cấp độ . Nó tương tự như cách mà không có nhiều hứng thú với một máy Turing băng tỷ, vì nó sẽ không mạnh hơn một máy Turing băng đơn lẻ nhưng phức tạp hơn để xử lý.

Bây giờ, nếu bạn tình cờ tìm thấy một automata trạng thái vô hạn không tương đương với mức phân cấp hiện có, điều đó có thể thú vị. Nhưng không có điều đó, các máy tự động trạng thái vô hạn đã bị bắt trong hệ thống phân cấp hiện có và đưa ra các phức tạp thêm khi xử lý vô cực, chúng tôi chỉ tránh chúng theo cùng một cách chúng tôi tránh mọi mô hình máy Turing quá phức tạp.

Phiên bản vô hạn (ngây thơ) của máy trạng thái hữu hạn xác định là quá mạnh . Một thứ như vậy sẽ có khả năng "ghi nhớ" bất kỳ ngôn ngữ nào, vì vậy không có gì nhiều để học từ việc xem xét chúng.

Ví dụ: qua bảng chữ cái nhị phân, hãy xem xét một máy tự động dưới dạng cây nhị phân hoàn chỉnh có chiều cao vô hạn. Mỗi chuỗi có thể bạn có thể xem là đầu vào tương ứng duy nhất với một nút của cây, vì vậy bạn có thể xây dựng một bộ quyết định cho bất kỳ ngôn ngữ nào chỉ bằng cách làm cho các nút tương ứng chấp nhận trạng thái.