Có một sự tương tự của những người thường xuyên trên mạng đối với các chuỗi vô hạn?

Hãy xem xét chuỗi . Có vẻ như "thông thường" theo cách, ví dụ thì không.s 2 = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 210 $s_1 = (1, 0, 1, 0,\dots)$$s_2 = (1, 2, 3, 4,\dots)$

Tôi không chắc làm thế nào để chính thức hóa trực giác này. Một điều làm tôi thất vọng là là ngôn ngữ thông thường và theo một nghĩa nào đó là giới hạn của các chuỗi trong ngôn ngữ này.s $L =\{(0 1)^n\}$$s_1$

Có một thuật ngữ để xem xét các chuỗi vô hạn? Chúng ta có một cái gì đó tương tự như bổ đề bơm, nhờ đó chúng ta có thể nói rằng bất kỳ chuỗi "vô hạn thông thường" như vậy có dạng với , , hữu hạn không?x y $x y^ {\infty}z$$x$$y$$z$

Có lẽ là thuật ngữ cụ thể nhất để mô tả chuỗi đầu tiên của bạn, là định kỳ . Chuỗi (hữu hạn hoặc vô hạn) là định kỳ nếu có một số  sao cho tất cả  , . Trong trường hợp của ví dụ này, chúng ta có thể lấy . Một khái niệm yếu hơn một chút là một chuỗi cuối cùng là định kỳ nếu có và  sao cho cho tất cả .x 1 x 2 ... t i x i = x i + t t = 2 n t x i = x i + t i ≥ $010101\dots$$x_1x_2\dots$$t$$i$$x_i=x_{i+t}$$t=2$$n$$t$$x_i=x_{i+t}$$i\geq n$

Tổng quát hơn, tuy nhiên, có một tương tự trực tiếp của các ngôn ngữ thông thường, đó là ngôn ngữ -regular . Chúng được công nhận bởi sự khái quát hóa tự nhiên của automata hữu hạn. Bộ trạng thái vẫn là hữu hạn nhưng tiêu chí chấp nhận phải được sửa đổi để xử lý các từ vô hạn - đặc biệt, chúng ta không thể chỉ nói "Chấp nhận nếu máy tự động kết thúc ở trạng thái chấp nhận" vì máy tự động không bao giờ kết thúc xử lý đầu vào vô hạn của nó.$\omega$

Lớp automata đơn giản nhất cho các từ vô hạn là Büchi automata . Chúng được định nghĩa chính xác như automata hữu hạn mà bạn đã sử dụng và chúng chấp nhận đầu vào của chúng nếu ít nhất một trạng thái chấp nhận được truy cập vô hạn thường xuyên trong quá trình chạy của automaton. Một sự khác biệt từ automata hữu hạn bình thường là nó chỉ ra rằng automata Buchi không xác định là mạnh hơn so với những người xác định, và ngôn ngữ -regular là những người chấp nhận bởi không xác định Buchi automata. Các tiêu chí chấp nhận hợp lý khác dẫn đến các mô hình tự động khác chấp nhận cùng một lớp langauges.$\omega$

Lưu ý rằng việc viết hoàn toàn không hợp lý , vì bạn không thể có bất cứ điều gì sau một chuỗi vô hạn của s. Ít nhất, bạn không thể nếu các vị trí trong chuỗi của bạn được lập chỉ mục theo số tự nhiên. Nếu chúng được lập chỉ mục bởi các chức vụ lớn hơn, điều này có thể có ý nghĩa.$xy^\omega z$$y$

Tôi có thể không thực sự nhớ nếu có một chất tương tự của Bổ đề bơm cho ngôn ngữ -regular. Điều này hơi xấu hổ, mặc dù đã gần một thập kỷ kể từ khi tôi dạy một lớp tốt nghiệp về công cụ này.$\omega$

Đây là một kết quả cơ bản trong Hiệu quả Loại Hai, mà tôi nghĩ rằng câu trả lời cho câu hỏi của bạn từ quan điểm tính toán. Sau đây, ngôn ngữ của chúng tôi chỉ bao gồm các chuỗi vô hạn. Chúng tôi biểu thị tập hợp các chuỗi vô hạn .$\Sigma^\omega$

Định lý: Nếu một máy tự động có thể thực hiện được chấm dứt trên mọi chuỗi vô hạn, thì ngôn ngữ của máy tự động bằng với trong đó là một tập hợp hữu hạn của chuỗi hữu hạn.$S\Sigma^\omega$$S$

Các giấy tờ chứng minh là bởi lemma Konig của.

Kết luận là một ngôn ngữ trên các chuỗi vô hạn là "đơn giản" theo một nghĩa nào đó (đó là một thực tế thú vị ) hoặc không thể giải quyết được. Bất kỳ khái niệm không tầm thường nào về ngôn ngữ đối với các chuỗi vô hạn là không thể giải quyết được.

Bạn có thể học các ngôn ngữ đơn giản hơn nếu bạn cho phép tư cách thành viên là có thể bán được chứ không phải là quyết định. Điều này vẫn có thể được coi là "khoa học máy tính" và không chỉ là toán học vô hạn (nó liên quan đến các vấn đề tìm kiếm thay vì các vấn đề quyết định; khả năng bán chính xác là đủ để thực hiện tìm kiếm).