Có một thuật toán hiệu quả để xác định xem một đồ thị có tự động hóa không tầm thường hay không?

Tôi đang nghiên cứu một vấn đề liên quan đến hình vuông Latin và tôi muốn có một phương pháp cho vấn đề cơ bản giải quyết vấn đề quyết định:

Đầu vào : Một đồ thị hữu hạn, đơn giản G.
Đầu ra : YESnếu G có tính tự động không tầm thường, NOnếu không.

Vì thế...

Câu hỏi : Có một thuật toán hiệu quả để xác định xem một đồ thị có tính tự động không tầm thường hay không?

Chúng tôi có thể sử dụng Nauty hoặc Bliss (và có thể một số gói khác) để tính toán toàn bộ nhóm tự động hóa, nhưng tôi không cần nó; tất cả những gì tôi cần xác định là liệu nó có tầm thường hay không.

Có thể vấn đề quyết định này tương đương về mặt lý thuyết về độ phức tạp để "tính toán toàn bộ nhóm tự động hóa" theo một cách nào đó. Tôi không chắc.

Đối với mục đích của tôi, "hiệu quả" về cơ bản có nghĩa là "thực tế nhanh hơn so với tính toán toàn bộ nhóm tự động hóa", nhưng tôi cũng quan tâm đến lý thuyết đằng sau nó.

— Rebecca J. Stones
nguồn

Điều này tương đương với đẳng cấu đồ thị.

— Yuval Filmus

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G

$G$

G_{1} ≃ G_{2}

$G_1\simeq G_2$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G_{1}

$G_1$

G_{1} + G_{2}

$G_1+G_2$

Về câu hỏi cuối cùng của bạn, nếu đưa ra một lời sấm truyền cho GA, người ta có thể, trong thời gian đa thức, tìm một tập hợp tạo của nhóm tự động hóa, thì GI là Turing có thể rút gọn thành GA, mà tôi không chắc là đã biết.

— Ariel

@DavidR Richby Còn bài báo sau thì sao? scTHERirect.com/science/article/pii/ từ

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus OK, vì vậy bạn đang sử dụng các mức giảm Turing và tôi đang sử dụng các mức giảm nhiều người. Và tôi đoán việc giảm Turing có liên quan nhiều hơn đến những người thực sự đang cố gắng giải quyết vấn đề.

— David Richerby

Vì bạn cũng quan tâm đến lý thuyết đằng sau nó, tôi sẽ cung cấp cho bạn một thuật toán thời gian đa thức cho vấn đề của bạn.

$u\neq v$ $G$ $u$ $v$

$G$ $G'$ $u$ $G$ $v$ $G'$

$w\in N(u)$

$w\in N(copy\ of\ v)$

Tất cả các con đường được đề cập ở trên, nhưng dài đa thức , nên có cùng chiều dài.

Gọi thuật toán của Babai trên đầu vào của cặp đồ thị mới được sản xuất này.

$(u, v)$ $YES$ $YES$

$YES$ $NO$

$N(u)$ $N(v)$ $N(u)$ $N(v)$ $YES$ $u$ $v$ $G$ $G'$ $G$

Độ phức tạp thời gian chạy vẫn là quasi-poly.

— Thịnh D. Nguyễn
nguồn