Tại sao âm thanh ngụ ý sự nhất quán?

Tôi đã đọc câu hỏi Tính nhất quán và đầy đủ có nghĩa là sự đúng đắn? và tuyên bố đầu tiên trong đó nói:

Tôi hiểu rằng âm thanh ngụ ý sự nhất quán.

Điều mà tôi đã khá bối rối vì tôi nghĩ rằng âm thanh là một tuyên bố yếu hơn sự nhất quán (nghĩa là tôi nghĩ các hệ thống nhất quán phải là âm thanh nhưng tôi đoán nó không đúng). Tôi đã sử dụng định nghĩa không chính thức Scott Aaronson đang sử dụng trong khóa học 6.045 / 18.400 của mình tại MIT để thống nhất và Soundness:

1. Soundness = Một hệ thống bằng chứng là âm thanh nếu tất cả các tuyên bố mà nó chứng minh là thực sự đúng (mọi thứ có thể chứng minh là Đúng). tức là IF ( là có thể chứng minh) ( là đúng). Vì vậy, IF (có đường dẫn đến công thức) THEN (công thức đó là True)$\phi$$\implies$$\phi$
2. Tính nhất quán = một hệ thống nhất quán không bao giờ chứng minh A và KHÔNG (A). Vì vậy, chỉ có một A hoặc phủ định của nó có thể là Đúng.

Sử dụng các định nghĩa (có lẽ không chính thức) trong tâm trí Tôi đã xây dựng ví dụ sau để chứng minh rằng có một hệ thống âm thanh nhưng không nhất quán:

Lý do là tôi nghĩ rằng đó là một hệ thống âm thanh là bởi vì giả định các tiên đề là đúng. Vì vậy, A và không phải A đều đúng (vâng tôi biết luật không loại trừ giữa không được bao gồm). Vì quy tắc suy luận duy nhất là phủ định, chúng ta có được rằng chúng ta có thể đạt được cả A và không phải A từ các tiên đề và tiếp cận nhau. Do đó, chúng tôi chỉ đạt được các tuyên bố đúng về hệ thống này. Tuy nhiên, tất nhiên hệ thống không nhất quán vì chúng ta có thể chứng minh sự phủ định của tuyên bố duy nhất trong hệ thống. Do đó, tôi đã chứng minh rằng một hệ thống âm thanh có thể không nhất quán. Tại sao ví dụ này không chính xác? Tôi đã làm gì sai?

Trong đầu tôi điều này có ý nghĩa bằng trực giác bởi vì âm thanh chỉ nói rằng một khi chúng ta bắt đầu và tiên đề và xoay quanh các quy tắc suy luận, chúng ta chỉ đạt được tại các điểm đến (tức là các câu lệnh) là Đúng. Tuy nhiên, nó không thực sự nói chúng ta đến đích. Tuy nhiên, tính nhất quán nói rằng chúng ta chỉ có thể đến đích đạt hoặc (cả hai không phải cả hai). Vì vậy, mọi hệ thống nhất quán phải bao gồm luật trung gian bị loại trừ như một tiên đề, tất nhiên tôi đã không và sau đó chỉ bao gồm sự phủ định của tiên đề duy nhất là tiên đề duy nhất khác. Vì vậy, nó không cảm thấy tôi đã làm bất cứ điều gì quá thông minh, nhưng bằng cách nào đó có gì đó không đúng?¬ $A$$\neg A$

Tôi chỉ nhận ra nó có thể là một vấn đề vì tôi đang sử dụng định nghĩa không chính thức của Scott. Ngay cả trước khi tôi viết câu hỏi tôi đã kiểm tra wikipedia nhưng định nghĩa của chúng không có ý nghĩa với tôi. Cụ thể là phần họ nói:

đối với ngữ nghĩa của hệ thống

trích dẫn đầy đủ của họ là:

mọi công thức có thể được chứng minh trong hệ thống đều có giá trị logic về mặt ngữ nghĩa của hệ thống.

Tôi khuyên bạn nên xem xét logic chính thức ngoài những mô tả mơ hồ, gợn sóng. Nó thú vị và rất phù hợp với khoa học máy tính. Thật không may, thuật ngữ và trọng tâm hẹp của ngay cả sách giáo khoa cụ thể về logic hình thức có thể đưa ra một bức tranh bị biến dạng về logic là gì. Vấn đề là hầu hết thời gian khi các nhà toán học nói về "logic", họ (thường ngầm) có nghĩa là logic mệnh đề cổ điển hoặc logic thứ nhất cổ điển. Mặc dù đây là những hệ thống logic cực kỳ quan trọng, nhưng chúng không ở gần bề rộng của logic. Ở mức độ nào, những gì tôi sẽ nói phần lớn diễn ra trong bối cảnh hẹp đó, nhưng tôi muốn làm rõ rằng nó đang xảy ra trong một bối cảnh cụ thể và không cần phải đúng bên ngoài nó.

Đầu tiên, nếu tính nhất quán được định nghĩa là không chứng minh cả và , điều gì xảy ra nếu logic của chúng ta thậm chí không có phủ định hoặc nếu¬ Một $A$$\neg A$$\neg$có nghĩa là gì khác? Rõ ràng, khái niệm về tính nhất quán này đưa ra một số giả định về bối cảnh logic mà nó vận hành. Thông thường, đây là việc chúng ta đang làm việc trong logic mệnh đề cổ điển hoặc một số mở rộng của nó như logic thứ nhất cổ điển. Có nhiều bài thuyết trình, tức là danh sách các tiên đề và quy tắc, có thể được gọi là logic mệnh đề / thứ tự cổ điển, nhưng, với mục đích của chúng tôi, điều đó không thực sự quan trọng. Chúng tương đương trong một số ý nghĩa phù hợp. Thông thường, khi chúng ta đang nói về một hệ thống logic, chúng tôi muốn nói đến một lý thuyết bậc nhất (cổ điển). Điều này bắt đầu với các quy tắc và tiên đề (logic) của logic thứ nhất cổ điển, mà bạn thêm các ký hiệu hàm đã cho, ký hiệu vị ngữ và tiên đề (được gọi là tiên đề phi logic). Những lý thuyết bậc nhất này thường là những gì chúng ta '

Tiếp theo, âm thanh thường có nghĩa là âm thanh liên quan đến một ngữ nghĩa. Tính nhất quán là một thuộc tính cú pháp phải làm với những bằng chứng chính thức mà chúng ta có thể đưa ra. Soundness là một thuộc tính ngữ nghĩa có liên quan đến cách chúng ta diễn giải các công thức, ký hiệu hàm và các ký hiệu vị ngữ thành các đối tượng và câu lệnh toán học. Để thậm chí bắt đầu nói về âm thanh, bạn cần đưa ra một ngữ nghĩa, nghĩa là một sự giải thích về những điều đã nói ở trên. Một lần nữa, chúng ta có một sự tách biệt giữa các kết nối logic và các tiên đề logic và các ký hiệu hàm, ký hiệu vị ngữ và các tiên đề phi logic. Điều làm cho các kết nối kết nối và các tiên đề logic theo quan điểm ngữ nghĩa là chúng được xử lý đặc biệt bởi ngữ nghĩa trong khi các ký hiệu hàm, ký hiệu vị ngữ và các tiên đề phi logic thì không.[ $[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ nơi tôi sử dụng như cách giải thích của công thức . Cụ thể, Trong đó là tên miền được đặt. Ý tưởng là một công thức được hiểu là tập hợp các phần tử miền (tuples of) thỏa mãn công thức. Một công thức đóng (tức là một công thức không có biến miễn phí) được hiểu là một mối quan hệ vô hiệu, nghĩa là một tập hợp con của một tập hợp đơn lẻ chỉ có thể là tập đơn hoặc tập rỗng. Một công thức đóng là "đúng" nếu nó không được hiểu là tập rỗng. Soundness sau đó là tuyên bố rằng mọi công thức có thể chứng minh (đóng) là "đúng" theo nghĩa trên.φ $[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

Thật dễ dàng từ đây, ngay cả từ bản phác thảo mà tôi đã đưa ra, để chứng minh rằng sự đúng đắn bao hàm sự nhất quán (trong bối cảnh của các logic thứ nhất cổ điển và ngữ nghĩa mà tôi đã phác họa). Nếu logic của bạn là âm thanh, sau đó mỗi chứng minh diễn giải công thức như là một tập không rỗng, nhưng là luôn hiểu là tập rỗng không có vấn đề gì công thức là, và vì vậy nó không thể chứng minh được, tức là logic của bạn là nhất quán.

Âm thanh và tính nhất quán là tính chất của hệ thống suy luận. Âm thanh chỉ có thể được định nghĩa đối với một số ngữ nghĩa được giả định là được đưa ra độc lập với hệ thống suy luận.

Trong lĩnh vực ngữ nghĩa, hai thuộc tính có liên quan với nhau

Định nghĩa 1 ( Soundness [Semantics] - mượn từ Wikipedia ) Tính đúng đắn của một hệ thống suy diễn là thuộc tính mà bất kỳ câu nào có thể chứng minh được trong hệ thống suy diễn đó cũng đúng với mọi cách hiểu hoặc cấu trúc của lý thuyết ngữ nghĩa đối với ngôn ngữ mà theo lý thuyết đó dựa trên.

Định nghĩa 2 ( Tính nhất quán [Semantics] ) Một tập hợp các câu trong ngôn ngữ là phù hợp khi và chỉ khi có tồn tại một cấu trúc của ngôn ngữ thỏa mãn tất cả các câu trong . Một hệ thống suy diễn là phù hợp nếu tồn tại một cấu trúc thỏa mãn tất cả các công thức có thể chứng minh được trong đó.$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

Với hai định nghĩa được đưa ra ở trên, rõ ràng âm thanh bao hàm sự nhất quán. Tức là nếu tập hợp tất cả các câu có thể chứng minh được trong tất cả các cấu trúc của ngôn ngữ thì tồn tại ít nhất một cấu trúc thỏa mãn chúng.

Hệ thống chứng minh bạn không phải là âm thanh cũng không phù hợp, vì không phải là một đề xuất đúng trừ Một ≡ ⊤ , Trong trường hợp này ¬ Một ≡ ⊥ không là một đề xuất đúng. Lập luận này cho thấy rằng mọi hệ thống bằng chứng âm thanh cũng nhất quán.$A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Thông thường khi chúng ta đưa ra các hệ thống logic, chúng được thúc đẩy bởi một nỗ lực để mô tả một hiện tượng có sẵn. Ví dụ, số học Peano là một nỗ lực để axiomat hóa các số tự nhiên cùng với các hoạt động của phép cộng và phép nhân.

Âm thanh chỉ có thể được định nghĩa liên quan đến hiện tượng bạn đang cố gắng mô tả, và về cơ bản có nghĩa là các tiên đề và quy tắc suy luận của bạn thực sự mô tả sự việc đang nghi vấn. Vì vậy, ví dụ, số học Peano là âm thanh bởi vì các tiên đề và quy tắc suy luận của nó thực sự đúng với các số tự nhiên.

Tất nhiên, điều này ngụ ý rằng bạn có một khái niệm về "số tự nhiên" ngoài định nghĩa của Peano về chúng, và một số khái niệm về điều gì là đúng hay sai đối với các số tự nhiên mà không có được những sự thật này từ bất kỳ tiên đề cụ thể nào. Cố gắng giải thích những sự thật đó đến từ đâu hoặc làm thế nào chúng có thể được xác minh có thể đưa bạn đến vùng nước nóng triết học. Nhưng nếu bạn coi đó là số tự nhiên, và có một số tập hợp sự thật về chúng, thì bạn có thể xem dự án axiomatization chỉ đơn giản là cố gắng đưa ra một đặc tả chính thức ngắn gọn từ đó nhiều đặc điểm quan trọng nhất sự thật có thể được bắt nguồn. Sau đó, một axiomatization là âm thanh nếu tất cả mọi thứ nó có thể chứng minh thực sự là trong bộ sưu tập sự thật được chỉ định trước, đó là,

(Đặc biệt lưu ý rằng đặc điểm kỹ thuật chính thức của bạn sẽ không chứng minh mọi thứ đúng về số tự nhiên và hơn nữa sẽ không mô tả duy nhất các số tự nhiên trong đó có các cấu trúc khác, khác với các số tự nhiên, trong đó các tiên đề của Peano cũng đúng.)

Trong logic thứ nhất, ít nhất, một lý thuyết là nhất quán nếu nó có bất kỳ mô hình nào cả. Soundness có nghĩa là nó có mô hình cụ thể mà bạn muốn: cấu trúc cụ thể mà bạn đang cố gắng mô tả với lý thuyết của bạn thực sự là một mô hình của lý thuyết của bạn. Từ quan điểm này, rõ ràng tại sao âm thanh ngụ ý sự nhất quán.

$\neg$

$\neg$$\mathbb N$

$\neg$

Một điều nữa: chúng ta không cho rằng các tiên đề là đúng theo định nghĩa. Tất cả các tiên đề theo định nghĩa chỉ là các khối xây dựng cơ bản của bằng chứng. Họ chỉ tuyên bố: chúng chỉ đúng hoặc sai khi áp dụng cho các đối tượng toán học cụ thể. Bạn có thể có các tiên đề sai, nó chỉ là khá ngớ ngẩn, bởi vì hệ thống của bạn sau đó sẽ nhất thiết và ngay lập tức không có âm thanh.

Để có câu trả lời ngắn gọn (và trực quan) tôi sẽ diễn giải những gì Scott Aaronson đã nói trong bài giảng MIT 6.045 / 18.400 của mình. Anh ấy nói một cái gì đó như thế này:

Âm thanh có nghĩa là tất cả mọi thứ có thể chứng minh là đúng. Vì tính nhất quán có nghĩa là không có mâu thuẫn và âm thanh liên quan đến khái niệm chân lý và sự thật phải nhất quán (nghĩa là Đúng! = Sai), nên nó phải có nghĩa là hệ thống Âm thanh cũng nhất quán. Vì vậy, Soundness ngụ ý sự nhất quán bởi vì (thực sự) những điều thực sự không có mâu thuẫn.

Bây giờ tôi phản ánh tôi nhận ra rằng tôi đã có một số giả định / ý tưởng không chính xác:

1. Tôi đã không nhận ra âm thanh là về ngữ nghĩa. Vì vậy, tôi đã không nhận ra rằng chỉ sử dụng các quy tắc suy luận từ các tiên đề là không đủ để dẫn đến hậu quả thực sự (và nó không đảm bảo điều đó, mà tôi nghĩ là không thể đạt được những điều mâu thuẫn chừng nào chúng ta bắt đầu từ các tiên đề và sử dụng quy tắc suy luận hợp lệ).
2. Tôi nghĩ rằng miễn là các tiên đề là đúng và các quy tắc suy luận có ý nghĩa mọi thứ tiến hành sẽ là đúng. Điều mà bây giờ tôi nhận ra có thể không đúng vì nếu chúng ta chỉ có một danh sách các tiên đề và suy luận quy tắc thì thật khó để suy luận nếu mọi thứ tiếp theo sẽ là sự thật. tức là chỉ bắt đầu từ một tiên đề và sử dụng quy tắc suy luận hợp lệ là không đủ để đảm bảo rằng bước tiếp theo sẽ đúng.
3. Cái trước về cơ bản được kết hợp với thực tế là tôi đã không nhận ra rằng có hai mức độ phức tạp, 1) ngữ nghĩa 2) cú pháp. Cranking các biểu tượng crunching trò chơi có thể dẫn đến mâu thuẫn.
4. Tôi đã không nhận ra rằng tôi đã không biết đặc tính đúng đắn của sự thật, mà derek đã làm rất tốt trong việc mô tả đặc điểm.