Có thể chứng minh bằng mâu thuẫn làm việc mà không có luật loại trừ giữa?

Gần đây tôi đã suy nghĩ về tính hợp lệ của bằng chứng bằng mâu thuẫn. Tôi đã đọc trong vài ngày qua những điều về logic trực giác và các định lý của Godel để xem liệu chúng có cung cấp cho tôi câu trả lời cho câu hỏi của tôi không. Ngay bây giờ tôi vẫn còn thắc mắc (có lẽ liên quan đến tài liệu mới tôi đọc) và hy vọng sẽ nhận được câu trả lời

( CẢNH BÁO : bạn sắp tiến hành đọc nội dung với những nền tảng rất bối rối trong logic, lấy mọi thứ bằng một hạt muối, giả sử đó là một câu hỏi và không phải là một câu trả lời, có nhiều hiểu lầm trong đó).

Tôi nghĩ rằng câu hỏi chính của tôi là, một khi chúng tôi đã chỉ ra rằng không phải A dẫn đến một số mâu thuẫn, vì vậy không phải A phải sai, sau đó chúng tôi đi và kết luận rằng A phải đúng. Đó là một phần có ý nghĩa (đặc biệt là nếu tôi chấp nhận luật trung gian bị loại trừ như một điều gì đó có ý nghĩa) nhưng điều làm phiền tôi là cách chứng minh bằng mâu thuẫn thực sự xảy ra. Đầu tiên chúng ta bắt đầu không phải A và sau đó chúng ta chỉ áp dụng các tiên đề và quy tắc suy luận (nói một cách máy móc) và xem nơi đưa chúng ta đến. Nó thường đạt đến một mâu thuẫn (giả sử A là đúng hoặc và là đúng). Chúng tôi kết luận rằng không phải A phải sai, vì vậy A là đúng. Tốt rồi. Nhưng câu hỏi của tôi là, những hệ thống chính thức nào đảm bảo$\neg \varphi$$\phi$Nếu tôi áp dụng quy trình tương tự nhưng bắt đầu với A mà tôi cũng sẽ không nhận được mâu thuẫn ở đó ? Tôi nghĩ rằng có một số giả định ẩn đang diễn ra bằng chứng bởi những mâu thuẫn rằng nếu tương tự làm quá trình tương tự trong Một người sẽ không đạt được mâu thuẫn , chúng ta sẽ có những đảm bảo nào sẽ không xảy ra? Có bằng chứng nào là không thể? Nói cách khác, nếu tôi có Máy quay (TM) (hoặc siêu TM) tồn tại mãi mãi, thì đã thử tất cả các bước hợp lý từ mọi tiên đề bắt đầu từ tuyên bố được cho là đúng , điều gì đảm bảo rằng nó KHÔNG HALT do tìm thấy mâu thuẫn ?$A$

Sau đó, tôi đã thực hiện một số mối liên hệ với câu hỏi trước đây của tôi với định lý không hoàn chỉnh của Godel giống như thế này:

Một hệ thống F chính thức biểu thị số học không thể chứng minh tính nhất quán của chính nó (trong F).

Điều này về cơ bản đã cho tôi thấy rõ rằng nếu điều đó đúng thì tính nhất quán tức là đảm bảo rằng A và không A sẽ không xảy ra là không thể. Do đó, dường như bằng chứng đó là bằng chứng mâu thuẫn chỉ mặc nhiên cho rằng tính nhất quán được bảo đảm bằng cách nào đó (nếu không thì tại sao nó lại đi trước và kết luận rằng A là đúng bằng cách chứng minh không phải A là không thể nếu nó không biết rằng tính nhất quán và mâu thuẫn ở đâu tốt, cho bất kỳ cặp câu A và không A)? Điều này là không chính xác hoặc tôi đã bỏ lỡ một cái gì đó?

Sau đó tôi nghĩ, ok cho phép chỉ đưa vào các tiên đề của chúng ta quy tắc loại trừ giữa và sau đó tất cả các vấn đề được giải quyết. Nhưng sau đó tôi nhận ra, hãy đợi nếu chúng ta làm điều đó, chúng ta chỉ đang xác định vấn đề thay vì xử lý nó. Nếu tôi chỉ buộc hệ thống của mình nhất quán theo định nghĩa thì điều đó không nhất thiết có nghĩa là nó thực sự là nhất quán phải không? Tôi chỉ đang cố gắng hiểu ý tưởng của những ý tưởng này và tôi không chắc phải làm gì nhưng đây là điều tôi nhận ra sau vài ngày đọc nội dung và xem video ở gần như mọi khía cạnh của những khái niệm này, mâu thuẫn, độc quyền, logic trực giác, định lý đầy đủ và không hoàn chỉnh của Godel

Liên quan đến vấn đề này, có vẻ như về cơ bản không thể thực sự trực tiếp chứng minh rằng một cái gì đó là sai mà không có quy tắc loại trừ giữa (hoặc mâu thuẫn). Có vẻ như các hệ thống bằng chứng rất tốt trong việc chứng minh các tuyên bố đúng nhưng theo hiểu biết của tôi thì không có khả năng trực tiếp cho thấy rằng mọi thứ là sai. Có lẽ cách họ làm điều đó gián tiếp hơn với mâu thuẫn (trong đó họ thể hiện điều gì đó phải là sai hoặc điều xấu xảy ra), hoặc loại trừ giữa (khi biết giá trị thật của chỉ một người A hoặc không A cho chúng ta sự thật của người khác) hoặc cung cấp các ví dụ phản biện (về cơ bản cho thấy điều ngược lại là đúng nên gián tiếp sử dụng luật loại trừ giữa). Tôi đoán có lẽ tôi thực sự muốn một bằng chứng mang tính xây dựng rằng một cái gì đó là sai?

Tôi nghĩ rằng nếu tôi có thể biết rằng nếu tôi chứng minh không phải A là sai (nói rằng tôi chấp nhận mâu thuẫn) thì điều đó thực sự ổn và tôi không cần phải áp dụng tất cả các quy tắc suy luận và tiên đề vô hạn vào A và tôi được đảm bảo rằng A đã thắng 'đạt đến một mâu thuẫn. Nếu đó là sự thật thì tôi nghĩ rằng tôi có thể chấp nhận bằng chứng bằng cách mâu thuẫn dễ dàng hơn. Đây có phải là sự thật hay là sự không hoàn hảo thứ hai của Godel đảm bảo tôi không thể có điều này? Nếu tôi không thể có điều này sau đó, điều khiến tôi băn khoăn là làm thế nào mà thậm chí rất nhiều năm các nhà toán học làm toán mà chúng ta không tìm thấy sự mâu thuẫn? Tôi có cần phải dựa vào bằng chứng thực nghiệm về tính nhất quán không? Hoặc ví dụ, tôi prof F nhất quán bằng cách hiển thị superF chứng minh F nhưng vì tôi sẽ không bao giờ thực sự cần superF và chỉ F, nên tôi không thể là nội dung thực sự hoạt động?

Tôi chỉ nhận thấy rằng khiếu nại của tôi cũng khái quát đến bằng chứng trực tiếp. Được rồi nếu tôi làm bằng chứng trực tiếp về A thì tôi biết A là đúng ... nhưng làm sao tôi biết rằng nếu tôi làm bằng chứng trực tiếp không phải A mà tôi cũng sẽ không có được bằng chứng chính xác? Có vẻ cùng một câu hỏi chỉ nhấn mạnh một chút ....

Bạn đã hỏi (Tôi đang làm cho câu hỏi của bạn trở nên sắc nét hơn một chút): "Có gì đảm bảo chính thức rằng điều đó không thể xảy ra khi cả và dẫn đến mâu thuẫn?" Bạn có vẻ lo lắng rằng nếu logic không nhất quán, thì bằng chứng bằng mâu thuẫn là vấn đề. Nhưng đây không phải là trường hợp.$\lnot p$$p$

Nếu logic không nhất quán thì bằng chứng mâu thuẫn vẫn là một quy tắc lý luận hợp lệ, nhưng sự phủ định của nó cũng vậy, và quy tắc nói rằng từ chúng ta có thể kết luận rằng bạn là giáo hoàng tiếp theo. Một sự không nhất quán trong logic không làm mất hiệu lực bất cứ điều gì: hoàn toàn ngược lại, nó xác nhận mọi thứ !$1 + 1 = 2$

Có một nguồn gây nhầm lẫn khác: tiêu đề của câu hỏi của bạn có thể được đọc là ngụ ý rằng luật trung gian bị loại trừ nói rằng logic là nhất quán. Điều đó là không chính xác. Tính nhất quán của số tiền logic đối với không phải là trường hợp cả tuyên bố và phủ định của nó đều có bằng chứng, trong khi loại trừ giữa là quy tắc cho phép chúng tôi chứng minh các tuyên bố có dạng .$p \lor \lnot p$

Bổ sung: Tôi không hiểu tại sao câu hỏi này tạo ra nhiều cuộc thảo luận. Tôi gặp khó khăn trong việc hiểu vấn đề nan giải thực sự là gì, và theo như tôi có thể nói, câu hỏi phát sinh từ một sự hiểu lầm nào đó. Nếu ai đó có thể làm sáng tỏ câu hỏi, tôi sẽ biết ơn. Ngoài ra, tôi chỉ muốn thu hút sự chú ý vào các điểm sau:

1. Bằng chứng là mâu thuẫn và loại trừ giữa là tương đương với nhau, và do đó, tiêu đề, như được viết, là không nhạy cảm. Tất nhiên chúng ta không thể có cái này mà không có cái kia, chúng tương đương nhau.

2. Từ những gì tôi có thể hiểu từ cuộc thảo luận kéo dài trong câu hỏi, OP dường như đang nói hoặc lo lắng rằng sự không nhất quán trong logic làm mất hiệu lực một bằng chứng. Điều này là sai, như tôi đã chỉ ra ở trên. Tôi sẽ đánh giá cao một số phản hồi từ OP: OP có thể thấy sự không nhất quán trong logic (nghĩa là có thể chứng minh mọi thứ) không làm mất hiệu lực bất kỳ bằng chứng nào không?

3. Tôi thấy có khả năng, nhưng thực sự không thể chắc chắn, OP nghĩ rằng luật của các quốc gia trung gian bị loại trừ rằng cả và thể giữ được (với một công thức: ). Điều này không được loại trừ giữa. Đôi khi nó được gọi là luật không mâu thuẫn, và nó có thể chứng minh được (không loại trừ giữa).¬ p ¬ ( p ∧ ¬ p $p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. OP cho rằng "không thể trực tiếp chứng minh rằng có gì đó sai mà không loại trừ giữa". Ông khó hiểu bằng chứng phủ định và bằng chứng bằng mâu thuẫn, đó không phải là điều tương tự . Các bài đăng được liên kết có rất nhiều ví dụ về bằng chứng xây dựng rằng một cái gì đó là sai. Trong thực tế, hầu hết các bằng chứng cho thấy một cái gì đó sai được tìm thấy trong sách giáo khoa đã mang tính xây dựng.

5. Sự không hoàn hảo của Gôdel bị kéo vào vì một lý do mà tôi có thể nhận ra. Sự không hoàn hảo của Gôdel cung cấp một câu sao cho cả và đều không thể chứng minh được. Điều này không ngụ ý rằng là không thể chứng minh được (đó là, bởi một ứng dụng đơn giản của loại trừ giữa)! Nó cũng không ngụ ý rằng giữ, hoặc một số như vậy. Vậy làm thế nào là sự không hoàn hảo của Gôdel có liên quan ở đây?G ¬ G G ∨ ¬ G ¬ G ∧ ¬ ¬ $G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS tôi xin lỗi vì phiên bản bổ sung trước đó rất thô lỗ.

Tôi nghĩ rằng câu hỏi của bạn tập trung vào "khi thực hiện xác minh chính thức với một số loại logic chính thức, tôi có loại đảm bảo nào để logic đó phù hợp?". Và câu trả lời là: không có. Đó là điều bạn phải giả định. Xác minh chính thức không loại bỏ tất cả các giả định; nó chỉ giúp bạn rõ ràng hơn về những gì bạn đang giả định, và có thể giúp bạn đảm bảo rằng bạn bắt đầu từ những giả định có vẻ hợp lý.

Nếu bạn làm việc theo logic tiêu chuẩn, nhìn chung hầu hết mọi người đều vui khi cho rằng logic là nhất quán, ngay cả khi họ không có bằng chứng về thực tế đó. Đúng là một ngày nào đó chúng ta có thể phát hiện ra rằng logic thực sự không nhất quán ... nhưng hầu hết mọi người tin rằng điều này không có khả năng lắm.

Trong một số trường hợp, người ta có thể chứng minh rằng logic là nhất quán, nhưng yêu cầu sử dụng logic mạnh hơn khác, trong đó chúng ta phải giả sử rằng logic thứ hai là nhất quán, vì vậy chúng ta vẫn phải đưa ra một số giả định (giả sử rằng một số logic là nhất quán ). Điều này có thể được coi là bằng chứng cho thấy logic đầu tiên có khả năng nhất quán, nếu bạn tin rằng logic thứ hai có khả năng nhất quán, nhưng lý luận phải đưa ra ở đâu đó - có một số điều chúng ta phải giả định và không thể chứng minh.

Xem, ví dụ, vấn đề thứ hai của Hilbert và cuộc thảo luận về tính nhất quán của ZFC (và điều này và điều này và điều này và có lẽ nhiều hơn nữa).

Có nhiều điểm triết học thú vị mà bài viết của bạn chạm đến.

Tính nhất quán của logic Boolean

Vấn đề về tính nhất quán của lý thuyết bằng chứng trong logic cổ điển không quá nghiêm trọng như bạn nghĩ. Về cơ bản, nó giảm xuống như sau:

Chúng ta có thể định nghĩa logic Boolean là một tập hợp các hàm hoạt động logic trên các giá trị thật 1và 0. Nhưng làm thế nào để chúng ta biết điều đó 0≠1?

(lưu ý rằng tôi chỉ đơn giản là sử dụng 0và 1làm biểu tượng trừu tượng cho hai giá trị thật; cụ thể, tôi không giả sử bất kỳ khái niệm nào về số nguyên ở đây)

Tất nhiên, chúng tôi không biết điều đó 0và 1khác biệt. Nhưng logic Boolean đơn giản đến mức nực cười đến nỗi từ chối khả năng này là một mức độ hoài nghi cực độ.

Nhưng logic mệnh đề cổ điển làm giảm điều này. Hãy nhớ lại rằng chúng ta có thể gán các giá trị Boolean cho các mệnh đề nguyên tử theo bất kỳ cách nào và điều này mở rộng đến việc gán một giá trị cho tất cả các mệnh đề có thể được xây dựng từ các mệnh đề nguyên tử.

Tuyên bố "từ Pbạn có thể suy luận Q" theo nghĩa đen chỉ là một mối quan hệ đặt hàng; nó có nghĩa tương tự như tuyên bố rằng " v(P) ≤ v(Q)giữ cho mọi chức năng vgán giá trị chân lý cho các mệnh đề nguyên tử".

Các quy tắc suy luận cho logic mệnh đề chính xác là các thuộc tính để làm việc với thứ tự ≤. Bằng chứng là mâu thuẫn, đặc biệt, là quan sát rằng nếu P ≤ 0, sau đó P = 0.

Và quay trở lại vấn đề của bạn ... nếu chúng ta biết cả hai P ≤ 0và ¬P ≤ 0, sau khi cắm các giá trị thật, cuối cùng chúng ta sẽ kết luận rằng 0=1; đúng và sai có nghĩa là điều tương tự.

Vì vậy, nếu bạn có niềm tin rằng "đúng" và "sai" có nghĩa là những thứ khác nhau, thì bạn nên có sự tự tin tương tự về tính nhất quán của logic Boolean.

Chứng minh bằng mâu thuẫn trong logic trực giác

Bạn nên lưu ý cẩn thận rằng bằng chứng bằng mâu thuẫn được xây dựng tốt hơn như sau:

• Nếu bạn có thể rút ra mâu thuẫn từ Pđó, thì hãy kết luận¬P

Trong thực tế, người ta có thể hoàn toàn định nghĩa phủ định là liên kết với tài sản này. Ví dụ: trong đại số Heyting bạn thường sẽ thấy ¬P được định nghĩa là P → 0.

Đặc biệt lưu ý, trường hợp đặc biệt

• Nếu bạn có thể rút ra mâu thuẫn từ ¬Pđó, thì hãy kết luận¬¬P

Những gì bạn mô tả là "bằng chứng của sự mâu thuẫn" xuất phát từ việc xác định ¬¬Pvới P. Logic trực giác không cho rằng những điều này là tương đương.

Tính nhất quán như một hợp đồng chính thức

Có nhiều hình thức tính toán cho logic mã hóa; xem đơn giản là tính toán lambda, các loại phụ thuộc và đặc biệt là mô hình "mệnh đề là loại".

Không đi sâu vào chi tiết, mâu thuẫn về cơ bản được coi là hợp đồng chính thức. Có một loại, mà tôi sẽ gọi 0, và có hợp đồng "những chức năng này không thể được sử dụng để xây dựng một yếu tố của loại 0".

Nếu một hệ thống như vậy quá đậm để cho phép bạn xây dựng một chức năng T → 0, thì nếu nó thực sự tuân theo hợp đồng, điều đó có nghĩa là không thể xây dựng bất kỳ đối tượng nào thuộc loại tương tự T. Đây là một quan điểm tính toán về ý nghĩa của một bằng chứng mâu thuẫn.

Cuối cùng, điều này không khác nhiều so với, ví dụ, hàm C trả về một con trỏ hứa sẽ không trả về con trỏ null hoặc hàm C ++ hứa sẽ không ném ngoại lệ.

Và đi vòng tròn đầy đủ, trở lại logic cổ điển, đó thực sự là những gì chúng ta đang làm.

Chúng tôi được cung cấp các hợp đồng chính thức, chẳng hạn như "từ các tiên đề của Peano, các quy tắc suy luận sẽ không cho phép bạn rút ra mâu thuẫn". Nếu hợp đồng này thực sự được duy trì, thì nếu bạn có thể cho thấy điều đó có ¬Pnghĩa là mâu thuẫn, thì Pcũng không thể ám chỉ mâu thuẫn.

Và nếu có thể vi phạm hợp đồng, chúng tôi chỉ cần nói "tiên đề của Peano là không phù hợp".

Khi được sử dụng để đảm bảo sự thật của một tuyên bố chính thức, tất cả các bằng chứng đều mặc nhiên thừa nhận tính nhất quán của hệ thống mà họ dựa vào. Điều này là do nếu hệ thống không nhất quán, toàn bộ hệ thống bị hỏng và tất cả công việc chúng tôi đã làm trong hệ thống đó về cơ bản là rác.

Bởi vì chúng tôi không thể chứng minh rằng bất kỳ hệ thống nào (hoặc ít nhất là bất kỳ hệ thống phức tạp nào) đều nhất quán trong giới hạn của hệ thống đó, chúng tôi phải coi đó là sự thật theo kinh nghiệm chứ không phải là sự thật có thể chứng minh được. Về cơ bản, nếu các nhà toán học dành một thời gian dài làm việc với một hệ thống chính thức và không có mâu thuẫn nào được phát hiện, thì đó là bằng chứng thực nghiệm có lợi cho tính nhất quán của hệ thống. Ngoài ra, chúng tôi có thể sử dụng một hệ thống mạnh hơn để chứng minh tính nhất quán của hệ thống mà chúng tôi đang làm việc (mặc dù tính nhất quán của hệ thống mạnh hơn này vẫn sẽ theo kinh nghiệm - sự dừng lại ở đâu đó).

Về cốt lõi, tình huống trong toán học giống hệt với khoa học. Chúng tôi xây dựng toán học dựa trên các lý thuyết có vẻ đúng dựa trên tất cả thông tin chúng tôi có về các lý thuyết đó, và giống như trong khoa học, bạn không thể chứng minh rằng một lý thuyết là đúng; bạn chỉ có thể chứng minh nó không chính xác.

Khi chúng tôi lần đầu tiên bắt đầu cố gắng dựa trên toán học trong lý thuyết tập hợp, chúng tôi thực sự phát hiện ra rằng các công thức lý thuyết tập hợp đầu tiên của chúng tôi không nhất quán vì chúng cho phép những thứ như "hãy để là tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa chính chúng". Chúng tôi đã phải vứt bỏ các công thức.$S$

Cho dù chúng ta chọn hệ tiên đề nào để dựa trên toán học, luôn có một mối nguy hiểm là chúng ta sẽ phát hiện ra mâu thuẫn trong hệ thống đó. Đây chính xác là lý do tại sao các nhà toán học không đưa ra các tiên đề mới vào toán học: mỗi tiên đề mới có cơ hội không tương thích với các tiên đề đã được sử dụng và tất cả các công việc sử dụng tiên đề mới sẽ phải được đánh giá lại hoàn toàn.

Phụ lục: Khi tôi nói về một tuyên bố là đúng đối với một hệ thống nhất định, tôi có nghĩa là nó không thể bị từ chối trong hệ thống đó nếu hệ thống đó phù hợp.