Một hàm tính toán có thể hội tụ đến một số không thể tính được không?

Có tồn tại hàm tính toán $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$ sao cho:

• Đối với tất cả $t\in\mathbb{N}: 0\le f(t) < X$
• $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t) = X$

Trong đó là một số thực không thể tính được.$X$

Tài liệu tham khảo duy nhất cho câu hỏi này tôi đã tìm thấy là câu trả lời cho câu hỏi này : /math//a/1052579/168764 , trong đó chức năng có vẻ như sẽ giữ, nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều đó giới hạn của hàm này là một số thực không thể tính toán được.

Hãy xem xét mã hóa số thực của vấn đề tạm dừng (gần như), tức là trong đó nếu máy Turing thứ i (liên quan đến thứ tự từ điển) dừng lại ở đầu vào trống và nếu không. Chúng ta hãy biểu thị con số này bằng .r i = 1 r i = 0 $0.r_1r_2...$$r_i=1$$r_i=0$$R$

Bây giờ, hãy xem xét máy mà trên đầu vào mô phỏng tất cả các máy Turing có độ dài trên đầu vào trống cho bước và trả về nơi nếu 'th tạm dừng máy Turing vào đầu vào trống trong vòng chưa đầy bước, và ngược lại. Rõ ràng cho tất cả nó cho rằng , và nó không phải là quá khó để chứng minh rằng hội tụ đến . Điểm mấu chốt là tốc độ hội tụ không thể tính toán được, nghĩa là đã cho$M$$n$$< n$$n$$0.\hat{r_1}...\hat{r_{2^n-1}}$$\hat{r_i}=1$$i$$n$$\hat{r_i}=0$$n$$M(n)< R$$\{M(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$R$$\epsilon$, Bạn không thể tính toán các chỉ số như vậy mà ngoài nó series là -close để .$\epsilon$$R$