Tại sao chúng ta có thể giả sử một thuật toán có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi bit?

Tôi đang bắt đầu đọc một cuốn sách về Độ phức tạp tính toán và Máy Turing. Đây là trích dẫn:

Một thuật toán (nghĩa là một máy) có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi bit một khi chúng ta quyết định một số mã hóa chính tắc.

Khẳng định này được cung cấp như một thực tế đơn giản, nhưng tôi không thể hiểu nó.

Ví dụ: nếu tôi có một thuật toán lấy làm đầu vào và tính toán hoặc:$x$$(x+1)^2$

int function (int x){
   x = x + 1; 
   return x**2; 
}

Làm thế nào mà điều này có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi bằng bảng chữ cái ?$\{0, 1\}^*$

Câu trả lời đơn giản và ngây thơ nhất cho câu hỏi của bạn là mã được cung cấp (và mã máy được biên dịch) trên thực tế được biểu diễn dưới dạng chuỗi cú pháp của {0,1} *. Ngoài ra, vì bạn đang nói về máy turing, các chương trình họ chạy là một danh sách các thao tác / hướng dẫn tuyến tính, không có lý do gì chúng không thể được biểu diễn dưới dạng bit / byte.

Bạn đã có một đại diện của chức năng đó như văn bản. Chuyển đổi mỗi ký tự thành giá trị một byte bằng mã hóa ASCII. Sau đó, kết quả là một chuỗi các byte, tức là, một chuỗi các bit, tức là một chuỗi trong bảng chữ cái . Đó là một ví dụ mã hóa.$\{0,1\}^*$

Tôi không thể cưỡng lại ...

⡂⡀⣀⢀⣄⡀⣰⡉⡀⠀⡀⡀⣀⠀⢀⣀⢀⣄⡀⡂⢀⣀⡀⢀⢀⡀⠀⡰⣀⠀⣀⠀⡂⡀⣀⢀⣄⡰⡀⢠⠂
⡇⡏⠀⡇⡇⠀⢸⠀⡇⢀⡇⡏⠀⡇⣏⠀⠀⡇⠀⡇⣏⠀⣹⢸⠁⢸⠀⡇⢈⠷⡁⠀⡇⡏⠀⡇⡇⠀⡇⢼⠀
⠁⠁⠀⠁⠈⠁⠈⠀⠈⠁⠁⠁⠀⠁⠈⠉⠀⠈⠁⠁⠈⠉⠁⠈⠀⠈⠀⠱⠉⠀⠉⠀⠁⠁⠀⠁⠈⠱⠁⠘⠄
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
⠀⠀⠀⢤⡀⡤⠀⣀⣀⣀⠀⢤⡀⡤⠀⠀⢰⠀⠀⢹⠠⠀
⠀⠀⠀⣠⠛⣄⠀⠒⠒⠒⠀⣠⠛⣄⠀⠉⢹⠉⠁⢸⢀⠀
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠘⠀
⠀⠀⠀⣄⢄⠤⢄⢴⠤⢠⠀⢠⢠⡠⢠⡠⢄⠀⢤⡀⡤⢺⡖⠐⣷⠂⠊⢉⡆
⠀⠀⠀⡇⠸⣍⣉⠸⣀⠸⣀⢼⢸⠀⢸⠀⢸⠀⣠⠛⣄⠀⠀⠀⠀⠀⣴⣋⡀
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

⢱⠀
⢸⠁
⠊

(Các dấu chấm ở trên đại diện cho những cái, số 0 trống).

Máy tính của bạn lưu trữ mọi thứ theo trình tự 0và 1, bao gồm cả câu hỏi bạn đã nhập để hỏi nó hoạt động như thế nào. Ví dụ, mỗi chữ cái và ký hiệu được biểu thị bằng 8 bit (Tôi đang nói về việc mọi thứ đã từng như thế nào, ngày nay nó là 16 bit và phức tạp hơn). Bạn có thể thấy chúng ở đây . Chà, họ không hiển thị các bit, mà là các mã thập lục phân và bát phân. Bạn có biết làm thế nào để chuyển đổi một số để đại diện kỹ thuật số của nó?

Giả thuyết cơ bản đằng sau khái niệm này là luận án Church-Turing . Có thể khó thấy rằng bất kỳ thuật toán nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi bit, bởi vì thuật ngữ "thuật toán" có thể được nghĩ theo các thuật ngữ rất không chính thức. Trong luận án Church-Turing, họ sử dụng một khái niệm được xác định rất chặt chẽ về thuật toán là gì (và thậm chí sau đó đã có một vài câu hỏi về từ ngữ). Tuy nhiên, thuật ngữ của họ đã nhận được rất nhiều ảnh hưởng mà nó đôi khi người ta lập luận rằng những định nghĩa cho những từ như "thuật toán" rất hiệu quả mà chúng ta chỉ đơn giản là chấp nhận chúng như những định nghĩa.

Church-Turing tuyên bố rằng mọi thuật toán có thể được thực hiện dưới dạng tính toán trên Máy Turing. Cho rằng mô tả của Máy Turing là một tập hợp các giá trị hữu hạn, thật đơn giản để xem cách ánh xạ mô tả này thành một chuỗi các số, sau đó thành một chuỗi 0 và 1.

Như các câu trả lời khác đã đề cập, việc trình bày thuật toán ví dụ của bạn bằng cách sử dụng mã hóa ASCII hoặc các bảng mã khác là chuyện nhỏ.

Tôi nghĩ lý do tại sao cuốn sách của bạn đưa ra tuyên bố này là một thực tế bắt nguồn từ thực tế là nhiều người chỉ đơn giản sử dụng luận điểm Church-Turing làm cơ sở cho định nghĩa của họ về thuật toán. Nếu bạn sử dụng một định nghĩa như vậy, thì rõ ràng là "5 là một con số" bởi vì về cơ bản bạn đã định nghĩa nó như vậy.

Tuyên bố này dựa trên sự tồn tại của các TM phổ quát . Đây là những TM cơ bản có thể lập trình có thể mô phỏng bất kỳ TM nào khác với nhiều nhất là chi phí poly. Do đó, chương trình của bạn chỉ đơn giản là một phần của đầu vào được mã hóa dưới dạng số không và số đầu vào.

Chà, hãy nói về các thuật toán không thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi bit hữu hạn cho bất kỳ loại mã hóa nào.

Hãy để tôi gõ một thuật toán như vậy cho bạn ... À, nhưng nếu tôi làm điều đó, tôi có thể biểu diễn thuật toán đó bằng mã hóa văn bản đã gõ của mình.

Làm thế nào về việc đại diện cho thuật toán của tôi bằng cách sử dụng một số 'phương tiện tương tự', nói theo vị trí của một vài đồng xu trên bàn của tôi. Mặc dù vị trí của những đồng tiền đó có thể được mô hình hóa bằng một số số thực (có thể trong một số mã hóa không thể biểu diễn chính xác), toàn bộ mô tả này một lần nữa có thể được coi là một đại diện cho thuật toán của tôi và có thể được mã hóa lại thành chuỗi bit!

Tôi hy vọng rằng những ví dụ này cho thấy rõ rằng nếu một số thuật toán không thể được biểu diễn bằng một chuỗi bit hữu hạn thì chúng ta không có phương tiện nào để mô tả thuật toán này cả!

Vì vậy, tại sao chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại của một cái gì đó chúng ta không thể nói đến? Có lẽ thú vị cho triết học, nhưng không phải cho khoa học. Do đó, chúng tôi định nghĩa khái niệm thuật toán sao cho nó có thể được biểu diễn bằng chuỗi bit, vì vậy ít nhất chúng tôi biết rằng chúng tôi có thể nói về tất cả các thuật toán.

Mặc dù câu trả lời ở trên cho câu hỏi, tôi nghĩ rằng sự nhầm lẫn về ví dụ được đưa ra chủ yếu là do thực tế là một biểu diễn chỉ cần biểu diễn duy nhất một số thuật toán. Cách thức biểu diễn không cần liên quan đến các tính toán thực tế được thuật toán gọi! Điều này rất hữu ích, vì nó có nghĩa là chúng ta cũng có thể đại diện cho các thuật toán không thể tính toán!

Một cách khác để thấy điều này là thông qua lý thuyết thông tin. Tất cả các mã hóa thông tin / câu hỏi có ý nghĩa / hữu ích có thể được tạo thành "chuỗi" nhị phân.

Phần lớn lĩnh vực đi vào câu hỏi, "cách nào để hỏi số lượng câu hỏi trung bình ít nhất để truyền đạt một thông tin có ý nghĩa?" Trong thực tế, điều này giống như "cách tiếp cận tối ưu để hỏi số câu hỏi có / không có ít nhất để hiểu những gì được truyền đạt hoặc nói?"