Những loại vấn đề toán học có thể được giải quyết bằng cách xử lý định lý tự động?

Tôi có thể chứng minh các phát biểu sau bằng cách sử dụng các provers định lý tự động có sẵn không?

. $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
Nếu , thì . $11 \mid 2a-3b$ $11 \mid 7a-5b$
Nếu , thì . $ax^2+bx+c=0$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
Nếu chẵn thì là chẵn. $a$ $4a$

và như thế!

Tôi đang đặt câu hỏi này bởi vì tôi chỉ tìm thấy ứng dụng của các định lý tự động trong việc chứng minh các định lý trong logic.

automated-theorem-proving

— Toán-pháo đài
nguồn

Bạn chắc chắn có thể chứng minh tất cả những điều này (ngoại trừ 3, sai khi viết) bằng cách sử dụng tất cả các trợ lý chứng minh tiêu chuẩn, mặc dù có thể nó sẽ không tự động.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus. Cảm ơn! Vì vậy, những loại vấn đề có thể được giải quyết tự động?

— Math-fort

Bạn có thể đơn giản hóa các biểu thức tự động, mặc dù đây là dịch vụ được cung cấp bởi Hệ thống Đại số Máy tính. Tôi không nghĩ các trợ lý bằng chứng hiện đại có thể tự động chứng minh bất cứ điều gì có chất, mặc dù vậy tốt hơn là hỏi các chuyên gia.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Tôi nghĩ rằng những gì bạn nói thường đúng, theo nghĩa là chỉ khi phương pháp chứng minh tự động cho kết quả thú vị, chúng tôi mới sẵn sàng gọi nó là một phần của CAS ...

— Thằn lằn rời rạc

"(a + b) ^ 2 == a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab" trên WolframAlpha

— Nat

Hầu hết các câu lệnh của bạn là đại số sơ cấp, vì vậy những điều này có thể được chứng minh tự động bằng hệ thống đại số máy tính (CAS), chẳng hạn như Maple hoặc Mathicala.

(Trong trường hợp bạn quan tâm đến toán học đằng sau CAS, tôi có thể giới thiệu cuốn sách Đại số máy tính hiện đại của Joachim von zur Gathen và Jürgen Gerhard, một cuốn sách đẹp, được coi là 'kinh thánh' của lĩnh vực này)

Định lý tự động chứng minh có xu hướng chủ yếu là một trường hợp thực hiện tìm kiếm heuristic trên một cấu trúc đại diện cho bằng chứng, nếu bằng chứng không phải là một trong số ít trường hợp có thuật toán có thể giải quyết được nó. Cho rằng tuyên bố này không quá phức tạp, có khả năng một người hoạt động tự động có thể 'tìm thấy' một bằng chứng.

Tuy nhiên, tôi nghĩ thật thú vị khi nói thêm một chút về các câu lệnh có thuật toán hay:

Tuyên bố 3 là (một trường hợp rất đơn giản) về gốc rễ của một (hệ thống) phương trình đa thức và có thể được giải quyết bằng cách tìm một cơ sở Gröbner với thuật toán của Buchberger. Cơ sở Gröbner và thuật toán của Buchberger để tìm ra một công cụ rất hay để chứng minh định lý tự động. Ví dụ, chúng ta thậm chí có thể tự động chứng minh các định lý cơ bản trong hình học bằng cách tự động chuyển đổi vấn đề sang tìm gốc của phương trình đa thức một cách thông minh!

Một lớp định lý thú vị khác là các câu lệnh có thể biểu thị bằng số học Presburger không định lượng (đặc biệt, số học này không có phép nhân, vì vậy điều này không áp dụng cho các câu lệnh của bạn), vì có một thuật toán để giải quyết tất cả các câu lệnh như vậy, mặc dù thuật toán là một chút chậm.

— Thằn lằn rời rạc
nguồn