Vấn đề Knapsack - NP-hoàn thành mặc dù giải pháp lập trình động?

Vấn đề Knapsack được giải quyết dễ dàng bằng lập trình động. Lập trình động chạy trong thời gian đa thức; đó là lý do tại sao chúng ta làm điều đó, phải không?

Tôi đã đọc nó thực sự là một vấn đề hoàn chỉnh NP, tuy nhiên, điều đó có nghĩa là việc giải quyết vấn đề trong vấn đề đa thức có lẽ là không thể.

Lỗi của tôi ở đâu?

Vấn đề Knapsack là $\sf{NP\text{-}complete}$ khi các số được đưa ra dưới dạng số nhị phân . Trong trường hợp này, các lập trình năng động sẽ mất theo cấp số nhân nhiều bước (trong kích thước của đầu vào, tức là số bit trong dữ liệu) đến khi kết thúc $\dagger$ .

Mặt khác, nếu các số trong đầu vào được đưa ra một cách đơn nhất, chương trình động sẽ hoạt động theo thời gian đa thức (theo kích thước của đầu vào).

Đây là loại vấn đề được gọi là yếu $\sf{NP\text{-}complete}$ .

$\dagger$$2$$\sqrt{n}$$n$$n$$n$$\lg n$$O(\sqrt{n}) = O(2^{\lg n/2})$

Loại thuật toán này, tức là đa thức với số lượng lớn nhất là một phần của đầu vào, nhưng hàm mũ theo chiều dài đầu vào được gọi là đa thức giả .

Sự nhầm lẫn chính nằm ở sự khác biệt giữa " kích thước " và " giá trị ".

" Thời gian đa thức " ngụ ý đa thức ghi kích thước của đầu vào.

" Pseudopolynomial Time " ngụ ý đa thức wrt giá trị của đầu vào. Nó có thể được hiển thị (bên dưới) rằng điều này tương đương với số mũ ghi kích thước của đầu vào.

$N_{size}$$N_{val}$

$O(N_{size}^x)$$x\in\mathbb{N}$

$O(N_{val}^x)$$x\in\mathbb{N}$

$O(nW)$$W$

$N_{size}=Log_b(N_{val})$$N_{val}$$b$$N_{val}$

$N_{size}$

$O(b^{xN_{size}})$$b, x\in\mathbb{N}$

$\text{P}=\text{NP}$

Tuy nhiên, có các biến thể khác nhau (ví dụ: 0-1 Knapsack và các biến thể khác ) có thể có hoặc không có các giải pháp thời gian đa thức hoặc các xấp xỉ tốt. Nhưng điều này không giống như vấn đề Knapsack chung. Ngoài ra, có thể có các thuật toán hiệu quả hoạt động cho các trường hợp cụ thể (gia đình) , nhưng các thuật toán này sẽ mất nhiều thời gian hơn trong các trường hợp khác.