Vấn đề NP-đầy đủ với một số đa thức của các trường hợp có?

Tôi có ấn tượng rằng đối với mọi vấn đề hoàn thành NP, với vô số kích cỡ đầu vào , số lượng trường hợp có trên tất cả các đầu vào có thể có kích thước , (ít nhất là) theo cấp số nhân theo .$n$$n$$n$

Điều này có đúng không? Nó có thể được chứng minh (có lẽ chỉ theo giả định rằng )? Hoặc chúng ta có thể, một cách giả tạo, có thể tìm ra một vấn đề trong đó với tất cả (đủ lớn) , số lượng các trường hợp có nhiều nhất là đa thức trong ?$P\neq NP$$n$$n$

Lý luận của tôi về cơ bản là đưa ra một ví dụ có cho 3-SAT, chúng ta có thể xác định nghĩa đen trong mỗi mệnh đề làm cho nó đúng và thay thế một biến khác trong mệnh đề bằng một biến khác, mà không thay đổi nó có thể thỏa đáng. Vì chúng ta có thể làm điều đó với mỗi mệnh đề, nó dẫn đến một số lượng các trường hợp có. Điều tương tự cũng xảy ra đối với nhiều vấn đề khác như đường hamiltonian: chúng ta có thể tự do thay đổi các cạnh không nằm trên đường dẫn. Sau đó, tôi mơ hồ lý do rằng tính liên quan đến giảm khả năng liên quan đến việc phải giữ các giải pháp theo cách nào đó, nó phải giữ cho tất cả các vấn đề hoàn thành NP.

Dường như cũng có thể giải quyết vấn đề có thể là trung gian NP của đẳng cấu đồ thị (nơi chúng ta có thể tự do áp dụng các thay đổi tương tự cho cả hai biểu đồ nếu chúng ta biết ánh xạ). Tôi tự hỏi nếu nó cũng giữ cho yếu tố số nguyên.

Một ngôn ngữ chỉ có nhiều trường hợp có nhiều trường hợp được gọi là thưa thớt . Định lý của Mahaney nói rằng nếu bất kỳ ngôn ngữ hoàn chỉnh NP nào đều thưa thớt thì P = NP. Vì hầu hết mọi người mong đợi rằng P NP, có vẻ như không tồn tại ngôn ngữ hoàn chỉnh NP chỉ với nhiều trường hợp có đa thức.$\ne$

Đó là một câu hỏi riêng biệt cho dù số lượng các trường hợp có là theo cấp số nhân. (Người ta có thể tưởng tượng rằng số lượng các trường hợp có thể nhiều hơn đa thức nhưng ít theo cấp số nhân.) Giả thuyết Berman-Hartmanis có liên quan ở đây; nó ngụ ý rằng tất cả các vấn đề hoàn thành NP có nhiều trường hợp có theo cấp số nhân. Phỏng đoán vẫn là một vấn đề mở.