Chính xác thì sự khác biệt về ngữ nghĩa giữa bộ và loại là gì?

EDIT: Bây giờ tôi đã hỏi một câu hỏi tương tự về sự khác biệt giữa các danh mục và bộ.

Mỗi lần tôi đọc về lý thuyết loại (mà phải thừa nhận là khá không chính thức), tôi thực sự không thể hiểu nó khác với lý thuyết tập hợp một cách cụ thể như thế nào .

Tôi hiểu rằng có một sự khác biệt về khái niệm giữa việc nói "x thuộc về một tập X" và "x là loại X", bởi vì theo trực giác, một tập hợp chỉ là một tập hợp các đối tượng, trong khi một loại có "thuộc tính" nhất định. Tuy nhiên, các bộ thường được định nghĩa theo các thuộc tính, và nếu có, thì tôi gặp khó khăn trong việc hiểu sự khác biệt này quan trọng như thế nào.

Vì vậy, theo cách cụ thể nhất có thể, chính xác nó ngụ ý gì về$x$ để nói rằng nó thuộc loại , so với việc nói rằng nó là một phần tử trong tập ?$T$$S$

(Bạn có thể chọn bất kỳ loại nào và thiết lập để làm cho sự so sánh rõ ràng nhất).

Để hiểu được sự khác biệt giữa các bộ và các loại, chúng phải quay trở lại các ý tưởng tiền thuật toán của "bộ sưu tập" và "xây dựng", và xem cách các bộ và loại toán hóa chúng.

Có một phổ các khả năng về những gì toán học là về. Hai trong số này là:

1. Chúng tôi nghĩ toán học là một hoạt động trong đó các đối tượng toán học được xây dựng theo một số quy tắc (nghĩ về hình học là hoạt động xây dựng các điểm, đường và vòng tròn bằng thước kẻ và la bàn). Do đó, các đối tượng toán học được tổ chức theo cách chúng được xây dựng , và có các loại xây dựng khác nhau . Một đối tượng toán học luôn được xây dựng theo một cách duy nhất, xác định loại duy nhất của nó.

2. Chúng tôi nghĩ về toán học như một vũ trụ rộng lớn chứa đầy các đối tượng toán học có sẵn (nghĩ về mặt phẳng hình học như đã cho). Chúng tôi khám phá, phân tích và suy nghĩ về những vật thể này (chúng tôi quan sát thấy có những điểm, đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng). Chúng tôi thu thập chúng thành bộ . Thông thường chúng ta thu thập các phần tử có điểm chung (ví dụ: tất cả các dòng đi qua một điểm nhất định), nhưng về nguyên tắc, một tập hợp có thể kết hợp một lựa chọn các đối tượng tùy ý. Một tập hợp được chỉ định bởi các phần tử của nó và chỉ bởi các phần tử của nó. Một đối tượng toán học có thể thuộc về nhiều bộ.

Chúng tôi không nói rằng các khả năng trên là hai khả năng duy nhất, hoặc bất kỳ một trong số chúng mô tả hoàn toàn toán học là gì. Tuy nhiên, mỗi cái có thể xem có thể đóng vai trò là điểm khởi đầu hữu ích cho một lý thuyết toán học chung mô tả một cách hữu ích một loạt các hoạt động toán học.

Đó là tự nhiên để có một loại và tưởng tượng bộ sưu tập của tất cả những điều mà chúng ta có thể xây dựng bằng cách sử dụng quy tắc của T . Đây là phần mở rộng của T , và bản thân nó không phải là T. Chẳng hạn, đây là hai loại có quy tắc xây dựng khác nhau, nhưng chúng có cùng phần mở rộng:$T$$T$$T$ $T$

1. Loại cặp trong đó n được xây dựng dưới dạng số tự nhiên và p được xây dựng như một bằng chứng chứng minh rằng n là số nguyên tố chẵn lớn hơn 3 .$(n, p)$$n$$p$$n$$3$

2. Loại cặp trong đó m được xây dựng như một số tự nhiên và q được xây dựng như một bằng chứng chứng minh rằng m là một số nguyên tố lẻ nhỏ hơn 2 .$(m, q)$$m$$q$$m$$2$

Vâng, đây là những ví dụ tầm thường ngớ ngẩn, nhưng quan điểm: cả hai loại không có gì trong phần mở rộng của chúng, nhưng chúng có các quy tắc xây dựng khác nhau . Ngược lại, bộ và { m ∈ N | m  là một số nguyên tố lẻ nhỏ hơn  2 } là bình đẳng vì họ có những yếu tố tương tự.

$$\{ n \in \mathbb{N} \mid \text{$n$ is an even prime larger than $3$} \}$$ $$\{ m \in \mathbb{N} \mid \text{$m$ is an odd prime smaller than $2$} \}$$

Lưu ý rằng lý thuyết loại không phải là về cú pháp. Nó là một lý thuyết toán học về các công trình, giống như lý thuyết tập hợp là một lý thuyết toán học của các bộ sưu tập. Nó chỉ xảy ra rằng các bài thuyết trình thông thường của lý thuyết loại nhấn mạnh cú pháp, và do đó mọi người kết thúc lý thuyết kiểu suy nghĩ là cú pháp. Đây không phải là trường hợp. Để nhầm lẫn một đối tượng toán học (xây dựng) với một biểu thức cú pháp đại diện cho nó (một thuật ngữ trước đây) là một lỗi thể loại cơ bản đã khiến các nhà logic học bối rối trong một thời gian dài, nhưng không còn nữa.

Để bắt đầu, bộ và loại thậm chí không trong cùng một đấu trường. Các bộ là các đối tượng của một lý thuyết bậc nhất, chẳng hạn như lý thuyết tập hợp ZFC. Trong khi các loại giống như các loại phát triển quá mức. Nói một cách khác, một lý thuyết tập hợp là một lý thuyết bậc nhất trong logic thứ nhất. Một lý thuyết loại là một phần mở rộng của chính logic. Chẳng hạn, Lý thuyết loại Martin-Löf không được trình bày như một lý thuyết bậc nhất trong logic thứ nhất. Nó không phải là phổ biến để nói về bộ và loại cùng một lúc.

Khi các trạng thái thằn lằn rời rạc, các loại (và sắp xếp) phục vụ một chức năng cú pháp. Một loại / loại hành xử như một thể loại cú pháp . Nó cho chúng ta biết những biểu thức nào được hình thành tốt. Đối với một ví dụ đơn giản sử dụng các loại, giả sử chúng ta đã mô tả lý thuyết về không gian vectơ trên một trường tùy ý là một lý thuyết được sắp xếp 2. Chúng tôi có một loại cho vô hướng, , và một loại cho vectơ, V . Trong số nhiều thứ khác, chúng tôi muốn có một hoạt động cho tỉ lệ: s c một l e : S × V → V . Điều này cho chúng tôi biết rằng s c a l e ( s c a l $\mathsf S$$\mathsf V$$\mathsf{scale}:\mathsf S\times \mathsf V\to \mathsf V$ đơn giản không phải là một thuật ngữ được hình thành tốt. Trong một loại bối cảnh lý thuyết, một biểu hiện như f ( x ) đòi hỏi e phải có một loại X → Y đối với một số loại X và Y . Nếu f không có loại hàm, thì f ( x ) đơn giản không phải là biểu thức được định dạng tốt. Cho dù một biểu thức thuộc loại nào đó hoặc có một số loại là một câu lệnh siêu logic. Thật vô nghĩa khi viết một cái gì đó như: ( x : X $\mathsf{scale}(\mathsf{scale}(s,v),v)$$f(x)$$f$$X\to Y$$X$$Y$$f$$f(x)$ . Thứ nhất, x : X đơn giản không phải là một công thức, và thứ hai, nó thậm chí không có ý nghĩa về mặt khái niệm vì các loại / loại là những gì cho chúng ta biết công thức nào được hình thành tốt. Chúng tôi chỉ xem xét giá trị thật của các công thức được hình thành tốt, vì vậy vào thời điểm chúng tôi xem xét liệu một số công thức có được giữ hay không, chúng tôi đã biết rằng nó được hình thành tốt!$(x:X)\implies y=3$$x : X$

Trong lý thuyết tập hợp, và đặc biệt là ZFC, biểu tượng chỉ phi logic ở tất cả là biểu tượng liên quan cho bộ hội viên, . Vì vậy, x ∈ y là một công thức được hình thành tốt với giá trị thật. Không có thuật ngữ nào khác ngoài các biến. Tất cả các ký hiệu thông thường của lý thuyết tập hợp là một phần mở rộng xác định cho điều này. Ví dụ: một công thức như f ( x ) = y thường được sử dụng để viết tắt cho ( x , y ) ∈ f mà chính nó có thể được coi là tốc ký cho ∃ p . p ∈ f ∧ p = ( $\in$$x\in y$$f(x)=y$$(x,y)\in f$ là tốc ký cho ∃ p . p ∈ f ∧ ( ∀ z . z ∈ $\exists p.p\in f\land p=(x,y)$ Ở mức nào,bất kỳ tập thể chiếm chỗ của f và tất cả mọi thứ là một tập hợp! Như tôi đã chỉ ra trongmột câu hỏi khácgần đây, π ( 7 ) = 3 trong đó

$$\exists p.p\in f\land(\forall z.z\in p\iff [z = x\lor(\forall w.w\in z\Leftrightarrow w = y)])$$ $f$$\pi(7)=3$$\pi$là số thực là một biểu thức lý thuyết tập hợp hoàn toàn hợp pháp và có ý nghĩa (và thậm chí có thể đúng). Về cơ bản, bất cứ điều gì bạn viết mà phân tích cú pháp trong lý thuyết tập hợp đều có thể được đưa ra một số ý nghĩa. Nó có thể là một ý nghĩa hoàn toàn giả, nhưng nó có một. Các bộ cũng là các đối tượng "hạng nhất" trong lý thuyết tập hợp. (Chúng tốt hơn vì chúng là các đối tượng duy nhất thường.) Một hàm như $$f(x)=\begin{cases}\mathbb N, &\text{if }x=1\\7,&\text{if }x=\mathbb Q\\x\cap \mathbb R^\mathbb R,&\text{if }x=(\mathbb Z,\mathbb N)\end{cases}$$ là một chức năng hoàn toàn hợp pháp trong lý thuyết tập hợp. Không có gì thậm chí từ xa tương tự như vậy trong lý thuyết loại. Gần nhất sẽ là sử dụng mã cho vũ trụ Tarskian. Bộ là đối tượng của lý thuyết tập hợp; loại không phải là đối tượng của lý thuyết loại.

Một loại không phải là một tập hợp các thứ (cũng không phải là một tập hợp cho vấn đề đó ...) và nó không được xác định bởi một thuộc tính. Một loại là một loại cú pháp cho phép bạn biết các hoạt động nào có thể áp dụng cho các điều khoản của loại đó và các biểu thức nào được định dạng tốt. Từ góc độ mệnh đề-loại, loại nào được phân loại là bằng chứng hợp lệ của mệnh đề mà loại tương ứng. Đó là, các thuật ngữ được định dạng tốt (nghĩa là được đánh máy tốt) của một loại nhất định tương ứng với các bằng chứng hợp lệ (cũng là các đối tượng cú pháp) của mệnh đề tương ứng. Không có gì như thế này đang xảy ra trong lý thuyết tập hợp.

Đặt lý thuyết và lý thuyết loại thực sự không giống nhau.

$x$$T$ $x$$S$

Một ví dụ

Để làm rõ sự khác biệt này, tôi sẽ sử dụng ví dụ được đưa ra trong các ghi chú bài giảng của Herman Geuvers . Đầu tiên, chúng ta xem xét một ví dụ về việc sinh sống một loại:

$$3+(7*8)^5:\mathrm{Nat},$$ $$3\in \{n\in\mathbb{N}\mid \forall x,y,z\in\mathbb{N}^+ (x^n+y^n\neq z^n)\}$$

Sự khác biệt chính ở đây là để kiểm tra xem biểu thức đầu tiên có phải là số tự nhiên hay không, chúng ta không phải tính toán một số ý nghĩa ngữ nghĩa, chúng ta chỉ phải 'đọc ra' thực tế là tất cả các chữ đều thuộc loại Nat và tất cả các toán tử đều đóng trên loại Nat.

$3$$3$

Thuật toán vs Bằng chứng

Tóm lại, các loại thường được sử dụng cho các yêu cầu 'đơn giản' theo cú pháp của một số biểu thức, sao cho có thể kiểm tra tư cách thành viên của một loại bằng thuật toán , trong khi để kiểm tra tư cách thành viên của một tập hợp, chúng ta thường sẽ cần một bằng chứng .

Để xem tại sao sự khác biệt này hữu ích, hãy xem xét một trình biên dịch của ngôn ngữ lập trình được gõ. Nếu trình biên dịch này phải tạo một bằng chứng chính thức để 'kiểm tra các loại', trình biên dịch được yêu cầu thực hiện một nhiệm vụ gần như không thể (nói chung, chứng minh định lý tự động là khó). Mặt khác, trình biên dịch có thể chỉ cần chạy một thuật toán (hiệu quả) để kiểm tra các loại, thì nó thực sự có thể thực hiện nhiệm vụ.

Một động lực cho một giải thích (er) nghiêm ngặt

Có nhiều cách hiểu về ý nghĩa ngữ nghĩa của các bộ và loại. Mặc dù dưới sự phân biệt được thực hiện ở đây các loại và loại mở rộng với kiểm tra loại không thể giải quyết được (chẳng hạn như các loại được sử dụng trong NuPRL, như được đề cập trong các nhận xét) sẽ không phải là 'loại', những người khác tất nhiên gọi miễn phí chúng như vậy (chỉ miễn phí vì họ muốn gọi họ là cái gì khác, miễn là định nghĩa của họ phù hợp).

Tuy nhiên, chúng tôi (Herman Geuvers và tôi), không muốn ném giải thích này ra khỏi cửa sổ, mà tôi (không phải Herman, mặc dù anh ấy có thể đồng ý) có động lực sau:

Trước hết, ý định của việc giải thích này không quá xa so với Andrej Bauer. Mục đích của cú pháp thường là mô tả cách xây dựng một cái gì đó và có một thuật toán để thực sự xây dựng nó thường hữu ích. Hơn nữa, các tính năng của một bộ thường chỉ cần thiết khi chúng ta muốn một mô tả ngữ nghĩa, cho phép tính không ổn định được cho phép.

Vì vậy, lợi thế của mô tả chặt chẽ hơn của chúng tôi là giữ cho sự phân tách đơn giản hơn , để có được sự khác biệt liên quan trực tiếp hơn đến việc sử dụng thực tế phổ biến. Điều này hoạt động tốt, miễn là bạn không cần hoặc muốn nới lỏng việc sử dụng của bạn, như bạn muốn, ví dụ như NuPRL.

Tôi tin rằng một trong những khác biệt cụ thể nhất về bộ và loại là sự khác biệt trong cách "những thứ" trong tâm trí bạn được mã hóa thành ngôn ngữ chính thức.

Cả bộ và loại cho phép bạn nói về mọi thứ và bộ sưu tập của sự vật. Sự khác biệt chính là với các bộ, bạn có thể hỏi bất kỳ câu hỏi nào bạn muốn về mọi thứ và nó có thể đúng, có thể không; trong khi với các loại, trước tiên bạn phải chứng minh rằng câu hỏi có ý nghĩa.

$\mathbb B=\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}$$\mathbb N=\{0, 1,\dots \}$$\operatorname{true}=1$

$0$$[0]=\{\}$$n+1$$[n+1]=\{[n]\}\cup [n]$$\operatorname{true}$$\operatorname{false}$$\operatorname{true}=1$$\operatorname{true}$$1$

$a=b$$a$$b$$\operatorname{true}=1$$S$$\mathbb B$$\mathbb N$$\iota_\mathbb B:\mathbb B\to S$$\iota_\mathbb N:\mathbb N\to S$$\iota_\mathbb B(\operatorname{true})=\iota_\mathbb N(1)$

$(\operatorname{if} \text{very_hard_question} \operatorname{then} 1 \operatorname{else} \operatorname{true})=1$

Tóm lại, các bộ cho phép bạn hỏi bất kỳ câu hỏi nào bạn muốn, nhưng các loại buộc bạn phải mã hóa rõ ràng khi câu trả lời có thể phụ thuộc vào chúng.