Chính xác thì sự khác biệt về ngữ nghĩa giữa thể loại và tập hợp là gì?

11

Trong câu hỏi này, tôi đã hỏi sự khác biệt giữa bộ và loại . Những câu trả lời này đã thực sự được làm rõ (ví dụ @AndrejBauer), vì vậy trong sự khao khát kiến thức của mình, tôi chấp nhận sự cám dỗ của việc hỏi tương tự về các danh mục:

Mỗi lần tôi đọc về lý thuyết thể loại (được thừa nhận là khá không chính thức), tôi thực sự không thể hiểu nó khác với lý thuyết tập hợp một cách cụ thể như thế nào .

Vì vậy, theo cách cụ thể nhất có thể, chính xác nó ngụ ý gì về $x$ để nói rằng nó thuộc loại , so với nói rằng ? (ví dụ: sự khác biệt giữa việc nói là một nhóm, so với việc nói rằng nằm trong Danh mục ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Bạn có thể chọn bất kỳ danh mục nào và thiết lập để làm cho sự so sánh rõ ràng nhất).

sets category-theory

— người dùng56834
nguồn

Tôi không chắc câu hỏi này được hình thành tốt. Trước tiên, bạn hỏi sự khác biệt giữa việc nói rằng 'x nằm trong danh mục C' so với 'x nằm trong tập S'. Nhưng sau đó, bạn đưa ra ví dụ về việc hỏi 'x nằm trong danh mục Grp' vs 'x là một nhóm'. Gì? Đó không phải là một ví dụ về câu hỏi của bạn. Một ví dụ về câu hỏi của bạn là hỏi sự khác biệt giữa 'x là gì trong danh mục Grp' và 'x nằm trong tập hợp của tất cả các nhóm'. Nhưng ngay cả khi đó không thực sự là những gì bạn đang hỏi nếu bạn hỏi sự khác biệt giữa các danh mục và bộ là gì.

— Miles Rout

11

Tóm lại, lý thuyết tập hợp là về tư cách thành viên trong khi lý thuyết thể loại là về các biến đổi bảo toàn cấu trúc.

Lý thuyết tập hợp chỉ là về tư cách thành viên (tức là một yếu tố) và những gì có thể được thể hiện dưới dạng đó (ví dụ như là một tập hợp con). Nó không liên quan đến bất kỳ thuộc tính nào khác của các phần tử hoặc tập hợp.

Lý thuyết phạm trù là một cách để nói về cách các cấu trúc toán học của loại ^{1 đã cho} có thể được chuyển đổi thành ^{2 loại} khác bằng các hàm bảo tồn một số khía cạnh của cấu trúc của chúng; nó cung cấp một ngôn ngữ thống nhất cho nói về một loạt các loại ¹ của cấu trúc toán học (nhóm, automata, không gian véc tơ, bộ, không gian tôpô, ... và thậm chí loại!) và ánh xạ trong các loại ¹ . Mặc dù nó chính thức hóa các thuộc tính của ánh xạ giữa các cấu trúc (thực sự: giữa các bộ mà cấu trúc được áp đặt), nó chỉ xử lý các thuộc tính trừu tượng của bản đồ và cấu trúc, gọi chúng là hình thái (hoặc mũi tên ) và các đối tượng; các yếu tố của các bộ có cấu trúc như vậy không phải là mối quan tâm của lý thuyết thể loại, và cũng không phải là các cấu trúc trên các bộ đó. Bạn hỏi, đó là lý thuyết gì về dạy học ; đó là một lý thuyết về ánh xạ bảo tồn cấu trúc của các đối tượng toán học thuộc loại ¹ tùy ý .

Tuy nhiên, lý thuyết về các loại Tóm tắt ³ , như đã nêu, hoàn toàn bỏ qua các tập hợp, hoạt động, quan hệ và tiên đề chỉ định cấu trúc của các đối tượng trong câu hỏi và chỉ cung cấp một ngôn ngữ để nói về cách ánh xạ bảo tồn cấu trúc như vậy cư xử: không biết cấu trúc nào được bảo tồn, chúng ta biết rằng sự kết hợp của hai bản đồ như vậy cũng bảo tồn cấu trúc. Vì lý do đó, các tiên đề của lý thuyết phạm trù đòi hỏi phải có luật thành phần kết hợp về hình thái và tương tự, có một hình thái nhận dạng từ mỗi đối tượng đến chính nó. Nhưng nó không cho rằng các hình thái thực sự là các chức năng giữa các bộ, chỉ là chúng hành xử giống như chúng.

Để được giải quyết: Các loại cụ thể mô hình hóa ý tưởng thêm cấu trúc vào các đối tượng của 'loại cơ sở'; Khi đây là chúng ta có thể có tình huống chúng ta thêm cấu trúc như một hoạt động nhóm vào một tập hợp. Trong trường hợp này, người ta có thể có nhiều điều để nói về cách cấu trúc được thêm vào theo các loại cơ sở cụ thể. $\mathsf{Set}$

Còn về ý nghĩa của các công thức của bạn , nói rằng, là một nhóm Nhóm, mà là một thành phần của tập hợp nhóm (thực ra là một lớp thích hợp ) hoặc rằng là (một đối tượng) trong ( hay một “ -object”) có nghĩa là điều tương tự một cách logic, nhưng nói về thể loại cho thấy bạn đang quan tâm đến homomorphisms nhóm (các morphisms trong ) và có lẽ trong những gì họ có điểm chung với morphisms khác. Mặt khác, nói $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ là một nhóm có thể đề nghị bạn quan tâm đến cấu trúc của nhóm (hoạt động nhân của nó) hoặc có lẽ trong cách nhóm hoạt động trên một số đối tượng toán học khác. Bạn sẽ không thể nói về thuộc nhóm các nhóm, mặc dù bạn có thể dễ dàng viết cho một số nhóm cụ thể mà bạn quan tâm. $G$ $G ∈ S$ $S$

Xem thêm

/math/tagged/carget-theory?sort=votes
- Cụ thể là /math/272875/concittle-carget-and-abauge-c Ab # 1774821
Thể loại trừu tượng và cụ thể: Niềm vui của mèo của Adámek, Herrlich và Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/C Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concittle_carget

¹ _{Ở đây và passim tôi không đề cập đến ý nghĩa của lý thuyết loại, mà là một tập hợp các thuộc tính cần thiết của các đối tượng / cấu trúc toán học, tức là một tập hợp các tiên đề mà chúng thỏa mãn. Thông thường, chúng mô tả hành vi của một số thao tác hoặc quan hệ trên các phần tử của các tập hợp được coi là mang cấu trúc, mặc dù trong trường hợp các tập hợp ( ) không có cấu trúc nào ngoài chính các tập hợp. Trong mọi trường hợp, như đã nói ở trên, lý thuyết thể loại bỏ qua các chi tiết của cấu trúc này. $\mathsf{Set}$}

² _{Có lẽ tôi nên nói vào tất cả hoặc một phần của nhau : người ta cho phép phép đồng hình từ (số nguyên) thành (số hữu tỷ) do $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Không có trình độ, ' thể loại ' thường có nghĩa là 'thể loại trừu tượng', được giới thiệu, theo như tôi có thể thấy, vào năm 1945 và được phát triển vào những năm 1960 trong khi các thể loại Bê tông dường như xuất hiện vào những năm 1970.}

— Giao dịch
nguồn

Tôi không chắc đó có phải là lời hùng biện không, nhưng chắc chắn có một nhóm các nhóm thích hợp. Ví dụ: mọi tập hợp làm phát sinh một nhóm tầm thường trên tập đơn có chứa tập đó. Bạn cũng có thể tạo ra một lớp các ví dụ không đẳng cấu.

— Derek Elkins rời SE

Cảm ơn bạn. Khi bạn nói: "đó là một lý thuyết về ánh xạ bảo tồn cấu trúc của các đối tượng toán học thuộc loại tùy ý ", bạn có nghĩa là "loại" theo nghĩa của lý thuyết loại, hay chính xác hơn?

— user56834

@ Lập trình2134: Xin lỗi nếu loại khó hiểu (tôi đã tự hỏi); Tôi không có ý đề cập đến lý thuyết loại (trong đó tôi biết rất ít), mà có nghĩa là các đối tượng / cấu trúc toán học với một tập các thuộc tính nhất định (tức là thỏa mãn các tiên đề nhất định) bởi các đối tượng / cấu trúc toán học của một loại nhất định .

— PJTraill

Điều đó làm rõ. Vì vậy, lý thuyết thể loại cũng đặc biệt giả định rằng có những tiên đề như vậy và tất cả các đối tượng này đều thỏa mãn các tiên đề đó, hay đó chỉ là một tiêu chí meta mà chúng ta sử dụng để định nghĩa các thể loại (tức là meta cho khung lý thuyết thể loại)?

— dùng56834

@ Lập trình2134: Không, lý thuyết thể loại hoàn toàn bỏ qua các tiên đề và chỉ cung cấp một ngôn ngữ để nói về ánh xạ bảo tồn một số cấu trúc như vậy: không biết cấu trúc nào được bảo tồn, chúng tôi biết rằng sự kết hợp của hai bản đồ như vậy cũng bảo tồn cấu trúc. Vì lý do đó, các tiên đề của lý thuyết phạm trù đòi hỏi phải có luật thành phần kết hợp về hình thái và tương tự, có một hình thái nhận dạng từ mỗi đối tượng đến chính nó. Nhưng nó không cho rằng các hình thái thực sự là các chức năng giữa các bộ, chỉ là chúng hành xử giống như chúng.

— PJTraill

5

Lý thuyết phạm trù theo một nghĩa nào đó là sự khái quát hóa của lý thuyết tập hợp: loại có thể là phạm trù của tập hợp, hoặc nó có thể là một thứ khác. Vì vậy, bạn học ít hơn nếu bạn biết rằng là một đối tượng trong một số danh mục không xác định so với khi bạn biết rằng là một tập hợp (vì trong trường hợp sau, nó theo sau là một đối tượng cụ thể là thể loại của tập hợp). Nếu bạn biết rằng là một đối tượng trong một đặc biệt thể loại nào đó (trừ các chủng loại bộ), những gì bạn học khác biết rằng là một tập hợp (ví dụ, một đối tượng trong danh mục của bộ); không ngụ ý khác. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

$x$ $x$

— DW
nguồn

Vì vậy, hãy để tôi so sánh các danh mục với các bộ và loại như @AndrejBrauer đã làm trong câu trả lời của mình cho câu hỏi khác của tôi. Một tập hợp chính thức hóa khái niệm của một bộ sưu tập các đối tượng. Một loại chính thức hóa khái niệm xây dựng các đối tượng. Khái niệm nào "Danh mục" chính thức hóa? Những gì quá trình / cấu trúc toán học là lý thuyết thể loại một lý thuyết về ?

— dùng56834

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

@ Lập trình2134, đó là một điểm tốt. Có ý nghĩa. Tôi chấp nhận quan điểm của bạn.

— DW

4

Một điểm nữa về lời giải thích của DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Tôi muốn tuyên bố mạnh mẽ hơn:

Một khái niệm được định nghĩa bởi thể loại của nó

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Khi bạn đã có, danh mục cung cấp cho bạn nhiều thuộc tính mặc định của khái niệm. Ví dụ từ

"Những trường hợp nào về cơ bản là giống nhau --- đẳng cấu",
"trong đó hai trường hợp này là nhiều hơn và ít hơn --- cặp rút lại phần",
"Có bao nhiêu phần tử cơ bản bên trong thể hiện này? --- homset từ đối tượng đầu cuối"

và như thế.

Đối với câu hỏi bạn hỏi trong nhận xét

Những gì quá trình / cấu trúc toán học là lý thuyết thể loại một lý thuyết về?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
nguồn

Hừm. Tôi không hiểu chính xác làm thế nào nếu chúng ta biết một loại cấu trúc, chúng ta biết mọi thứ về cấu trúc đó. Chúng ta không biết cấu trúc nào thỏa mãn?

— user56834

@ Lập trình viên2134 Xem xét lại lý thuyết tập hợp của Tom Leinster (là bản tóm tắt công việc của Lawvere) là một ví dụ điển hình. Công trình tự xác định lý thuyết tập hợp bằng cách xác định các thuộc tính của (hình thái của) loại tập hợp (không truy cập 'bên trong' bất kỳ đối tượng nào để truy cập bất kỳ giả định nào trước đây mà chúng ta có thể có về các tập hợp.)

— Apiwat Chantawibul

Vì vậy, bạn đang nói rằng không có thông tin nào bị mất về lý thuyết tập hợp bằng cách chỉ xem xét danh mục của tập hợp, trong khi quên các tiên đề của nó?

— user56834

@ Lập trình viên2134 Vâng, trên thực tế, nó giống như các tiên đề định nghĩa lý thuyết tập hợp ZFC đã được dịch thành các thuộc tính thuần túy của hình thái. Vì vậy, phạm trù mà chúng tôi khẳng định có một số tính chất về hình thái, xác định lý thuyết tập hợp.

— Apiwat Chantawibul

Bạn có biết một văn bản giải thích cụ thể điểm này về lý thuyết thể loại một cách rõ ràng không?

— user56834

1

Bộ

x \in A

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Triết học. Các bộ có cấu trúc bên trong - chúng hoàn toàn được xác định bởi các yếu tố của chúng.

Ghi chú. Một hệ tiên đề được sử dụng rộng rãi bởi các nhà lý thuyết tập hợp là ZFC. Sức mạnh của nó là sự đơn giản: chỉ có các bộ và quan hệ thành viên. Mặt khác, nhiều nhà toán học cảm thấy rằng điều này dẫn đến một khái niệm tập hợp tách rời khỏi sự hiểu biết và cách sử dụng các tập hợp của họ (so sánh bên dưới Leinster ). Trong thực tế, đại đa số các nhà toán học (trừ các nhà lý thuyết tập hợp) dường như không sử dụng các tiên đề ZFC. Tuy nhiên, các bộ không nhất thiết phải tham khảo ZFC (xem các danh mục và ETCS bên dưới ).

Thể loại

A \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

Triết học. Các đối tượng của một thể loại có một cấu trúc bên trong. Họ chỉ được đặc trưng bởi mối quan hệ của họ (hình thái) với các đối tượng khác.

Ghi chú. Khái niệm cơ bản của các phạm trù là chức năng và điều này trùng khớp với việc sử dụng các tập hợp của đại đa số các nhà toán học. Do đó, bạn có thể thấy các danh mục như một khái quát khái niệm về cách mà (hầu hết) các nhà toán học từ các lĩnh vực rất khác nhau sử dụng các tập hợp trong công việc hàng ngày của họ. Ngoài các danh mục (và toposes) như một khái quát, bạn có thể xem xét hệ thống tiên đề ETCS là các bộ tiên đề (so sánh bên dưới Leinster và Lawvere ).

Câu hỏi. Sự khác biệt giữa việc nói x là một nhóm, so với việc nói rằng x nằm trong Danh mục Grp?

$x$ $x$

Phê bình

Trong trường hợp ZFC và ETCS, các cách tiếp cận này có thể được dịch sang nhau, mặc dù ETCS yếu hơn ZFC nhưng (dường như) bao trùm hầu hết toán học (xem MathStackExchange và Leinster). Về nguyên tắc (sử dụng phần mở rộng của ETCS), bạn có thể chứng minh kết quả tương tự với cả hai phương pháp. Vì vậy, các triết lý được đề cập ở trên của cả hai khái niệm không khẳng định sự khác biệt cơ bản trong những gì bạn có thể bày tỏ hoặc kết quả bạn có thể chứng minh.

Các biểu thức được đặt và thành viên trong ZFC là các khái niệm trừu tượng giống như các khái niệm về danh mục hoặc bất kỳ hệ tiên đề nào khác và có thể có nghĩa là bất cứ điều gì. Vì vậy, từ quan điểm chính thức này, để khẳng định, ZFC quan tâm đến cấu trúc bên trong của các tập hợp trong khi các thể loại xử lý các mối quan hệ bên ngoài của các đối tượng với nhau có vẻ không phù hợp. Mặt khác, đây dường như là triết lý hoặc trực giác của các lý thuyết liên quan.

Tuy nhiên, trong thực tế, bạn sẽ thích một Cách tiếp cận nhất định, ví dụ như vì sự rõ ràng hoặc đơn giản hoặc bởi vì một số khái niệm hoặc kết nối đến một khu vực khác phát triển tự nhiên hơn những nơi khác.

Người giới thiệu

Spivak. Lý thuyết thể loại cho các nhà khoa học

Leinster. Lý thuyết tập hợp suy nghĩ

Lawvere. Một lý thuyết cơ bản về thể loại của bộ

MathStackExchange. Lý thuyết thể loại không có bộ

— Fwe
nguồn