Đồ thị đẳng cấu và nhóm tự động

Một cách tiếp cận phổ biến để quyết định xem hai biểu đồ đã cho có phải là đẳng cấu hay không là tính toán cái gọi là nhãn chính tắc (cách khác, biểu đồ chính tắc) của mỗi biểu đồ và kiểm tra xem chúng có khớp hay không.

Các công cụ như Nauty tính toán biểu đồ chính tắc thông qua các cây tìm kiếm được cắt tỉa bằng cách sử dụng một số ý tưởng thông minh dựa trên các biểu đồ tự động hóa đồ thị. Bởi vì điều này, Nauty cho phép người ta tính toán một bộ tạo của nhóm tự động hóa đồ thị. Tuy nhiên, theo như tôi hiểu ý tưởng đằng sau Nauty, việc tính toán biểu đồ chính tắc không yêu cầu người ta phải tính toán một trình tạo của nhóm tự động hóa đồ thị nói chung.

Do đó, câu hỏi của tôi là: có mối quan hệ lý thuyết phức tạp chính thức giữa GI và tính toán của một bộ máy phát của nhóm tự động hóa đồ thị không?

Cảm ơn nhiều.

Như các ý kiến ​​cho thấy có thể có sự nhầm lẫn về những gì bạn gọi là "GI". Nhưng ý tưởng ở đây là chính xác. Đó là thời gian đa thức tương đương với việc tìm các máy phát của một nhóm tự động hóa vì nó là để tìm một đẳng cấu giữa hai nhóm. Ý tưởng này là "cổ điển" ở chỗ nó xuất hiện trong tác phẩm đầu tiên, ví dụ như đẳng cấu nhóm của Luks trong hóa trị giới hạn là trong thời gian đa thức, và thậm chí ở đó tôi nghĩ ý tưởng này được coi là "nổi tiếng".

Yêu cầu. Đặt và H là các đồ thị được kết nối . Sau đó, G ≅ H nếu và chỉ khi, mọi bộ tạo S của$G$$H$$G\cong H$$S$ chứa một yếu tố g ∈ S mà G g = H .$\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$$g\in S$$G^g=H$

Lưu ý Quan trọng ở đây là mọi bộ tạo đều trao đổi các biểu đồ vì nếu không, đôi khi bạn sẽ tính toán các trình tạo không giải quyết được vấn đề. Vì vậy, ví dụ, đẳng cấu của hai nhóm không dễ dàng mang lại kết quả theo cách này. Đó là bởi vì không phải tất cả các bộ tạo sẽ trao đổi G và H khi G ≅ H . thay vào đó họ có thể đi đến các bản sao chéo. Tình huống đó có thể được khắc phục, nhưng nó đòi hỏi một lập luận mạnh mẽ hơn. Vì vậy, cách tiếp cận ở đây không phải là một cách áp dụng trong tất cả các loại.$\mathrm{Aut}(G\times H)$$G$$H$$G\cong H$

Bằng chứng. Đối với nghịch đảo nếu mỗi (hoặc thậm chí nếu một) bộ tạo giao G và H sau đó G ≅ H bởi những hạn chế về điều đó chức năng để G . Vì vậy, đây là tất cả về hướng phía trước. (Nhưng tôi đề cập đến điều này bởi vì bằng chứng là do giao tiếp nên nó có thể trông giống như tôi sắp đi theo hướng tương tự.)$\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$$G$$H$$G\cong H$$G$

Giả sử được tạo ra bởi một tập hợp S tất cả các phần tử gửi G để G và H để H , (lưu ý bởi khả năng kết nối giả định nếu một đỉnh của G sẽ được gửi đến một đỉnh của H sau đó toàn bộ đồ thị G được gửi đến H và do đó bằng lỗ chim bồ câu, một số đỉnh trong H sẽ được gửi đến G và do đó | G | = | H | và chúng ta sẽ thay thế hai biểu đồ). Từ$\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$$S$$G$$G$$H$$H$$G$$H$$G$$H$$H$$G$$|G|=|H|$ gửi G đến G , sau đó mọi thành phần của các hàm trong S đều gửi G đến G và do đó đảo ngược các hàm này. Vì vậy, mỗi từ trong S gửiđến H ). Vì vậy, không có yếu tố Một u t ( G ⊔ H ) giao G và H . $S$$G$$G$$S$$G$$G$$S$ đến G (và cả$G$$G$$H$$H$$\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$$G$$H$

Cuối cùng nếu sau đó một đẳng cấu φ : G → H dành một automorphism φ ⊔ φ - 1 của G ⊔ H . Vì vậy, sự vắng mặt của các yếu tố trong A u $G\cong H$$\phi:G\to H$$\phi\sqcup \phi^{-1}$$G\sqcup H$ để trao đổi G và H có nghĩa G ≇ H . Kết quả như sau. $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$$G$$H$$G\not\cong H$$\Box$

Nhưng bây giờ vấn đề cần làm rõ là đi từ quyết định (Là ?) Để tìm kiếm (Hãy cho tôi φ : G → H hoặc một chứng chỉ G ≇ H ) vẫn phải được lập luận (và có thể). Ngoài ra, từ một đẳng cấu đến các máy phát tự động là một đối số khác (cá nhân hóa các biểu đồ và lặp lại phép thử đẳng cấu). Vì vậy, tất cả nói với bạn có một vài trang đối số để thực hiện các tương đương. Không ai sẽ hiển thị nhãn chính tắc mặc dù. Điều đó khó hơn nhiều (NP-hard nếu tôi nhớ lại). Mặc dù NAutY và Dấu vết xử lý nhiều ví dụ nhanh chóng.$G\cong H$$\phi:G\to H$$G\not\cong H$