Tại sao Định lý không hoàn chỉnh thứ hai của Godel không loại trừ một bằng chứng chính thức về P! = NP?

Tôi chắc chắn phải có điều gì đó sai với lý do sau bởi vì nếu không, rất nhiều nghiên cứu P so với NP sẽ bị giới hạn nhưng tôi không thể xác định lỗi của mình:

Đối với bất kỳ cố định số nguyên xác định $k>0$

B_{k} := {⟨ φ ⟩ | φ is a wff of ZF and has a proof of length \leq k {| φ |}^{k}}

$B_k := \{ \langle \varphi \rangle | \; \varphi \; \text{is a wff of ZF and has a proof of length} \; \leq k{|\varphi|}^k \; \}$

Bây giờ cho tất cả , ngôn ngữ là trong NP từ một bằng chứng có giá trị chiều dài có thể là nhân chứng NP được xác minh bởi trình kiểm tra bằng chứng tự động trong thời gian đa thức. Hơn nữa, với đủ lớn , là NP hoàn chỉnh do SAT giảm theo: đó là, ví dụ SAT tạo ra một wff tương ứng của ZF bằng cách sử dụng các bộ lượng tử hiện sinh. Sau đó, một phép gán chân thực thỏa mãn có thể được tạo thành một bằng chứng chính thức về độ dài đa thức trong $k$ $B_k$ $\varphi$ $\leq k{|\varphi|}^k$ $k$ $B_k$ $\phi$ $\varphi$ $\phi$ $\varphi$ $|\varphi|$ vì một phép gán chân lý của là tuyến tính trong . $\phi$ $|\phi|$

Bây giờ, nếu ZF là không phù hợp, phương tiện này rằng có một tuyên bố chính thức như rằng cả hai và Có bằng chứng trong ZF. Như đã biết, bất kỳ tuyên bố khác sau đó có thể được bắt nguồn từ sự kết hợp mâu thuẫn (có nghĩa là bằng cách làm theo đường dẫn: $\sigma$ $\sigma$ $\neg \sigma$ $\tau$ $\langle \sigma \wedge \neg \sigma \rangle$

⟨ σ \land \neg σ ⟩ ⟹ both σ and \neg σ are true ⟹ ⟨ \neg τ \to σ ⟩ is true (since regardless of τ the implication is valid since σ is true) ⟹ ⟨ \neg σ \to τ ⟩ (by contraposition and double negation) ⟹ τ is true (by modus ponens with \neg σ)

$\langle \sigma \wedge \neg \sigma \rangle \implies \text{both} \; \sigma \; \text{and} \; \neg \sigma \; \text{are true} \implies \langle \neg \tau \rightarrow \sigma \rangle \; \text{is true (since regardless of} \; \tau \; \text{the implication is valid since} \; \sigma \; \text{is true)} \implies \langle \neg \sigma \rightarrow \tau \rangle \; \text{(by contraposition and double negation)} \implies \tau \; \text{ is true (by modus ponens with} \; \neg \sigma \, )$

$\varphi$ $|\varphi|$

$B:=B_k$ $k$ $B$ $\varphi$ $\langle \varphi \rangle \notin B$ $B$ $B$

Do đó, nếu chúng tôi có bằng chứng chính thức về P! = NP thì chúng tôi có bằng chứng chính thức về tính nhất quán của ZF. Nhưng theo định lý bất toàn thứ hai của Godel, điều này ngụ ý rằng ZF không nhất quán, từ đó có được P = NP như đã nêu ở trên (cũng như định lý của bất kỳ định lý phủ định nào).

Đây không chính xác là một bằng chứng cho thấy P so với NP độc lập với ZF. Có thể là ZF phù hợp và P = NP hoặc P! = NP có thể được chứng minh thông qua các kỹ thuật không thể chính thức hóa trong ZF. Tuy nhiên, nó lại đưa ra một rào cản ghê gớm khác để giải quyết P so với NP.

— Ari
nguồn

Câu trả lời:

$SAT \leq B$ $\varphi$

$ZF \vdash P \neq NP$ $B \notin P$ $B$ $P$ $P \neq NP$ $ZF \vdash B \notin P$ $B$ $ZF \vdash P \neq NP$

— Ari
nguồn

Làm tốt lắm! đây dường như là vấn đề

— Ariel

$k$ $B_k$

— Arno
nguồn

B_{k}

$B_k$

B_{k}

$B_k$

@Ari Các trường hợp SAT không thỏa mãn tương ứng với các câu lệnh ZF sai trong lý thuyết meta của bạn. Vì vậy, để giảm bớt hoạt động, bạn cần các câu lệnh ZF sai không có bằng chứng ZF.

— Arno

Sự tương đương là rõ ràng, nếu công thức có bằng chứng thì trường hợp SAT là thỏa đáng (ZF là âm thanh, tôi không hiểu tại sao điều này nên là một trở ngại ở đây). Xem câu hỏi này để có bằng chứng về tính đầy đủ NP của nó.

— Ariel

@Ariel Câu trả lời trong câu hỏi đó là không chính xác về các giả định là gì. Nó nhất thiết phải giả định rằng ZF là âm thanh. Chỉ cần nhắc nhở: "Âm thanh" có nghĩa là nếu một tuyên bố có bằng chứng, thì nó thực sự đúng. Nếu ZF không nhất quán, thì nó chứng minh mọi thứ và do đó không thể là âm thanh. Cụ thể, chúng tôi thấy rằng "ZF là âm thanh" không phải là một định lý của ZF. Nếu siêu lý thuyết của chúng tôi chứng minh "ZF là âm thanh", thì nó cũng chứng minh "ZF là nhất quán", và không có vấn đề gì. Nếu nó không chứng minh được thì chúng ta không có bằng chứng NP-đầy đủ và cũng không có vấn đề gì.

— Arno

Tính chính xác của việc giảm thực sự phụ thuộc vào tính nhất quán của ZF, tuy nhiên nó không liên quan gì đến âm thanh. Hãy nhớ lại rằng âm thanh được định nghĩa liên quan đến một số ngữ nghĩa và ZF là âm thanh theo nghĩa các tuyên bố có thể chứng minh là đúng trong tất cả các mô hình, nếu ZF không nhất quán rằng nó là âm thanh trống rỗng vì nó không có mô hình.

— Ariel