Là viết một số là hai hình vuông và viết các yếu tố của một số khó như nhau?

Đặt và là như sau: $L_1$ $L_2$

$L_1=\{r:\exists x,y \in \mathbb{Z} \text{ such that } x^2+y^2=r\}$

$L_2=\{(N,M): M<N, \exists 1<d\leq M \text{ such that d|N} \}$

Yêu cầu $L_1 \leq_P L_2$

Phác thảo

Nếu tôi muốn biết liệu $r\in L_1$ .

Số lượng các giải pháp số nguyên cho $x^2+y^2=r$ được cho bởi

$g(r)=\sum_{d|r}{\chi{(d)}}$ trong đó $\chi (x)=sin(\frac{\pi x}{2})=\cases{ 1\text{ when }x\cong 1 \text{ mod }4 \\ -1 \text{ when }x\cong 3 \text{ mod }4 \\ 0 \text{ when } 2|x }$

Khi đó $L_1=\{r: g(r)\neq 0\}$ . Vì vậy, sau đó để trả lời là " $r\in L_1$ ?" nhiều nhất là khó trả lời như "ước số của $r$ gì?"

$\square$

Những gì tôi muốn biết là nếu điều này là đúng theo cách khác. Có đúng là nếu tôi có một máy có thể cho tôi biết trong thời gian không đổi, liệu $r\in L_1$ tôi có thể tạo ra một máy có thể trả lời "là $(M,N)\in L_2$ không?" trong thời gian đa thức?

Động lực

Câu hỏi này xuất phát từ một cuộc thảo luận về câu hỏi này .

Xin lỗi Tôi thực sự chỉ là một thành viên math.se đã bị lạc và lang thang đến cs.se. Hãy cho tôi biết nếu câu hỏi của tôi rõ ràng và theo tiêu chuẩn của trang web này. Tôi rất vui khi được sửa chữa.

complexity-theory time-complexity np decision-problem

— Mason
nguồn

Tôi có đang sử dụng chính xác không?

\leq_{P}

$\leq_P$

— Mason

Mức giảm của bạn là chính xác, nhưng kết luận của bạn rằng là "khó như" là không chính xác. Bạn chỉ cần chứng minh rằng là tại hầu hết các khó như . Cụ thể, bạn thực sự cho thấy khó nhất là trường hợp rất hạn chế của , điều này có thể rất dễ dàng.

L_{1} \leq_{p} L_{2}

$L_1\le_p L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— Shaull

Thay vì "thỏa mãn một vòng tròn", một thuật ngữ tốt hơn có thể là "là tổng của hai hình vuông".

— Yuval Filmus

@Shaull, tôi đã thay đổi một số ngôn ngữ để phản ánh nhận xét của bạn.

— Mason

Tính toán trên thực tế được biết là khó như bao thanh toán, cho đến việc giảm thời gian đa thức ngẫu nhiên. Xem Bach, Miller và Shallit: Tổng các ước, số hoàn hảo và bao thanh toán .

\sum_{d ∣ n} d

$\sum_{d\mid n}d$

— Emil Jeřábek

Đây là tình huống như tôi có thể nói:

Cách hiệu quả nhất để kiểm tra tư cách thành viên trong là yếu tố . Không có thuật toán hiệu quả hơn dường như được biết đến. $L_1$ $r$

Tuy nhiên, không có sự giảm rõ ràng nào để chứng minh . Nói cách khác, nếu chúng ta có một máy để quyết định , không có cách nào dễ dàng sử dụng điều đó để tính toán. Nếu chúng ta muốn đến yếu tố một số , chúng ta có thể kiểm tra xem , nhưng điều này chỉ cung cấp cho chúng tôi một chút thông tin về các yếu tố của . Việc kiểm tra bội số của (nghĩa là, liệu đối với một số nguyên ) không cung cấp cho chúng tôi bất kỳ thông tin bổ sung nào, vì biết liệu đủ để dự đoán liệu cho tất cả $L_2 \le_P L_1$ $L_1$ $N$ $N \in L_1$ $N$ $N$ $cN \in L_1$ $c$ $N \in L_1$ $cN \in L_1$ $c>0$ . Việc kiểm tra các con số khác dường như cũng không giúp được gì. (Kiểm tra xem đối với một số số khác dường như không cung cấp bất kỳ thông tin hữu ích nào, nếu ; và nếu chúng tôi có cách tìm một số khác sao cho , chúng tôi đã biết cách tính đến yếu tố, nhưng tất nhiên chúng tôi không biết cách thực hiện điều đó - vì vậy, bất kỳ số nào chúng tôi biết cách tạo ra đều không thể cung cấp cho chúng tôi bất kỳ hữu ích nào thông tin về các yếu tố của ) Đây không phải là một bằng chứng; nó chỉ là trực giác gợn sóng. $N' \in L_1$ $N'$ $\gcd(N,N') =1$ $N'$ $\gcd(N,N')\ne 1$ $N$

Vì vậy, có vẻ hợp lý rằng có thể dễ dàng hơn và cũng có vẻ hợp lý rằng chúng có thể có cùng độ khó. Tôi không biết về bất kỳ kết quả nào nữa về chủ đề này. $L_1$ $L_2$

— DW
nguồn