Trường hợp hạn chế chiều dài của bổ đề bơm đến từ đâu?

8

Đối với ngôn ngữ có độ dài bơm và chuỗi , các bổ đề bơm như sau: $L$ $p$ $s\in L$

Phiên bản thông thường : Nếu , sau đó có thể được viết là , thỏa mãn các điều kiện sau: $|s| \geq p$ $s$ $xyz$

$|y|\geq 1$
$|xy|\leq p$
$\forall i\geq 0: xy^iz\in L$

Phiên bản không có ngữ cảnh : If , sau đó có thể được viết là , đáp ứng các điều kiện sau: $|s| \geq p$ $s$ $uvxyz$

$|vy|\geq 1$
$|vxy|\leq p$
$\forall i\geq 0: uv^ixy^iz\in L$

Câu hỏi của tôi là: Ai đó có thể đưa ra một lời giải thích ngắn gọn và rõ ràng về mức độ thường xuyên (bối cảnh không rõ ràng) ngụ ý các điều kiện thứ nhất và thứ hai ở trên không? Độ dài bơm được xác định bởi các thuộc tính (hữu hạn) (số lượng trạng thái hữu hạn hoặc tính chất hữu hạn của quy tắc sản xuất, tương ứng), thuộc tính thứ ba đảm bảo rằng trạng thái (quy tắc sản xuất) có thể được bỏ qua hoặc lặp lại tùy ý nhiều lần, nhưng lần đầu tiên thực hiện và điều kiện thứ hai bắt nguồn? Làm thế nào để họ biện minh?

— BlueBomber
nguồn

Tôi đang bình luận vì tôi có thể không nhận được câu hỏi của bạn, nhưng dường như rõ ràng là nếu bạn có một từ có độ dài ít nhất là , bạn có thể phân chia từ thành ba phần, sao cho và . Đơn giản chỉ cần để trống, là ký tự đầu tiên và phần còn lại. Tôi đã hoàn toàn hiểu sai câu hỏi của bạn?

p \geq 1

$p \geq 1$

x y z

$xyz$

| y | \geq 1

$|y| \geq 1$

| x y | \leq p

$|xy| \leq p$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Pål GD

@ PålGD, tôi không thấy rõ ràng trong bối cảnh các điều kiện khác của bổ đề (độ dài khác không của chuỗi con có thể bơm và khả năng bơm tùy ý). Tôi đồng ý, rõ ràng là một chuỗi có độ dài ít nhất có thể được phân chia thành các chuỗi con sao cho chuỗi đầu tiên có độ dài , nhưng độ rõ ràng (với tôi) không tiếp tục khi bạn giữ các điều kiện khác. Có lẽ tôi nên làm rõ bài gốc?

x

$x$

\leq x

$\leq x$

— BlueBomber

Không, nhìn thấy trong điều kiện thứ ba , người ta nên cẩn thận hơn một chút. Như bạn đã nhận thấy, hai điều kiện đầu tiên nói không có gì hữu ích. Như bạn cũng thông báo, buộc các là không rỗng (như thực sự những gì điều kiện đầu tiên là nói), làm cho chúng ta thực sự trong một vị trí để "bơm".

y

$y$

— Pål GD

Là PL không ngữ cảnh cần thiết cho câu hỏi của bạn? Không có ý nghĩa gì khi xem xét một số điều kiện này trong sự cô lập.

— Raphael

@BlueBomber, trong cả hai trường hợp không có điều kiện (1) việc bơm là vô nghĩa (có thể chọn chuỗi con trống luôn). Đối với các ngôn ngữ thông thường, (2) chỉ là trong ký hiệu, DFA cho ngôn ngữ đã ở trạng thái và theo nguyên tắc pigeonhole nếu DFA có trạng thái, người ta phải lặp lại (và bạn có thể đi qua chu kỳ lần, bơm dây).

n

$n$

n + 1

$n + 1$

n

$n$

k

$k$

— vonbrand

8

Điều kiện đầu tiên, tức là , rõ ràng là cần thiết nếu bạn muốn nói điều gì đó thú vị: với , một cách tầm thường và luôn luôn giữ. $|y| \geq 1$ $y = \varepsilon$ $xy^iz \in L$

Điều kiện thứ hai, tức là , là "tùy ý": bổ đề vẫn nói điều gì đó thú vị nếu bạn bỏ nó và nó vẫn đúng vì tuyên bố trở nên yếu hơn. $|xy| \leq p$

Nhưng hãy nhớ những gì chúng tôi muốn sử dụng các bổ đề bơm cho: chúng tôi muốn tìm một từ (đủ dài) để tất cả các phân tách hợp lệ thành không thể bơm. Do đó, rất hữu ích khi cho phép càng ít phân tách càng tốt. Lucky như chúng ta, bằng chứng của Bổ đề bơm dễ dàng mang lại một sự hạn chế mạnh mẽ, cụ thể là có có trở thành một phân hủy bơm với với không đổi . $x,y,z$ $|xy| \leq p$ $p$

Bây giờ chúng ta phải bác bỏ chỉ có nhiều tiền tố (dĩ nhiên có thể có vô số nhiều phần tiếp theo khác nhau). Nếu bạn nhìn vào các ứng dụng ví dụ , bạn sẽ thấy rằng chúng sử dụng rất nhiều hạn chế này. $xy$

— Raphael
nguồn

1

điều kiện 2 là "tùy ý" theo những cách khác. Ví dụ, một bổ đề tương đương được đưa ra nếu chúng ta thay thế (2) bằng . Thậm chí còn có một phiên bản mạnh mẽ hơn của bổ đề bơm trong đó phần có thể ở bất cứ đâu (không nhất thiết phải ở đầu hoặc cuối). Biến thể phổ biến ( , nghĩa là, nằm cạnh đầu) là do sự thuận tiện.

| y z | < p

$|yz|<p$

y

$y$

| x y | < p

$|xy|<p$

y

$y$

— Ran G.

@RanG. Làm thế nào là một phiên bản mà vị trí của là tùy ý mạnh hơn? Tôi nghĩ rằng tôi đã giải thích làm thế nào mà sẽ yếu hơn. Hay phiên bản đó nói lên những điều khác?

y

$y$

— Raphael

Nó mạnh hơn vì nó cho phép bạn linh hoạt hơn: có thể phần bạn muốn bơm không nằm ở đầu từ. Thật vậy, nó vẫn có một tương đương với vì không "yếu" hơn như bạn nói, nhưng không cần phải xác định chính xác nó ngay từ đầu. Hãy nghĩ về bổ đề của Ogden là hình thức tổng quát nhất ..

| x y | < p

$|xy|<p$

— Ran G.

1

@Raphael, ví dụ: phiên bản được cung cấp ở trên không đủ để chứng minh rằng không thường xuyên (có thể bơm ), nhưng với nằm ở bất cứ đâu thì dễ.

{a b^{n} c^{n} : n \geq 0} \cup a a^{+} b^{*} c^{*}

$\{a b^n c^n \colon n \ge 0\} \cup a a^+ b^* c^*$

a

$a$

y

$y$

— vonbrand

@vonbrand: Bây giờ tôi hiểu ý của Ran, cảm ơn.

— Raphael

3

Tôi sẽ chỉ cung cấp một số gợi ý về bổ đề bơm cho các ngôn ngữ thông thường; lý luận là đủ tương tự cho người khác. Hãy nghĩ về là một phần của được tạo bởi mọi thứ trước khi bắt đầu vòng lặp đầu tiên; như mọi thứ được tạo trong khi trong vòng lặp nhất định đó cho vòng lặp đầu tiên; và như mọi thứ được tạo ra sau khi lặp lại lần đầu tiên. $x$ $s$ $y$ $z$

Vì và là số trạng thái trong máy tự động hữu hạn tối thiểu (ví dụ) chấp nhận ngôn ngữ, sau đó máy tự động phải được lặp lại (vì hầu hết chuyển đổi đều có thể xảy ra, nếu không). Do đó, không trống rỗng; chúng tôi đang nói rằng thực tế là vì chúng tôi có một chuỗi có độ dài nhất định, nên máy tự động chấp nhận nó phải được lặp ở một số điểm, vì vậy là hợp lý. $|s| \geq p$ $p$ $p-1$ $y$ $|y|>1$
Vì là lần đầu tiên bạn đi qua vòng lặp đầu tiên và là tất cả mọi thứ trước đó, nên bạn đã không truy cập bất kỳ trạng thái nào trong máy tự động nhiều lần. Vì cótrạng thái trong máy tự động và bạn chưa truy cập tất cả chúng, bạn có . $y$ $x$ $|p|$ $|xy| < p$

Đây không phải là rất nhiều giả thuyết cần hỗ trợ; chúng là những tuyên bố thực tế dựa trên cách bổ đề bơm được mơ ước về mặt tự động hữu hạn.

— Patrick87
nguồn

2

Khi bạn di chuyển qua các trạng thái của máy tự động, cuối cùng bạn sẽ đạt được một chu kỳ. Chu kỳ là . Không có điểm nào trong việc bơm một từ trống, do đó điều kiện 1. là số ký hiệu bạn phải đọc để tìm chu kỳ đầu tiên. Điều này có thể không thể nhiều hơn số lượng trạng thái, do đó điều kiện 2. Gần như theo định nghĩa, một chu kỳ có thể được lặp lại bất kỳ số lần nào, do đó điều kiện 3. $y$ $xy$

Các biến thể bối cảnh miễn phí là rất giống nhau. Điều kiện đầu tiên là chúng tôi chỉ tìm kiếm các chu kỳ hữu ích. Điều kiện thứ hai nói rằng có thể tìm thấy một chu kỳ vì bạn sẽ hết các thiết bị đầu cuối. Điều kiện thứ ba nói rằng một khi bạn có một chu kỳ bạn có thể bơm nó. Lưu ý rằng để xem một chu kỳ trong trường hợp không có ngữ cảnh, bạn nên vẽ một cây phân tích cú pháp.

— Karolis Juodelė
nguồn

2

Có các biến thể của bổ đề bơm. Tôi sẽ sử dụng của bạn.

Lưu ý rằng bạn thực sự có 3 điều kiện chiều dài. Cái còn thiếu là khoảng tổng chiều dài tối thiểu của từ. Tôi đối xử với nó với điều kiện thứ hai.

Trong một tóm tắt (lớn):

Tôi gọi cây con bất kỳ phần phụ của cây phân tích có nhiều nhất một thiết bị đầu cuối ở rìa. Bổ đề bơm sử dụng các cây con đệ quy trong đó thiết bị đầu cuối không ở rìa giống như gốc của cây con. Toàn bộ cây phân tích là một cây con.

Subtrees như được định nghĩa ở đây (và các đệ quy đệ quy) là trung tâm của vấn đề. Sự tồn tại của chúng liên quan trực tiếp đến bối cảnh .

Điều kiện thứ nhất : chỉ đơn giản là nếu có một cây con đệ quy không có tác dụng (rìa không có ký hiệu termina) trong cây phân tích, nó có thể được ngắn mạch, do đó chúng ta luôn chắc chắn rằng rìa có chứa một ký hiệu đầu cuối.

Một vấn đề hữu hạn : Nó sẽ được sử dụng hai lần. Nếu bạn có một cây con không chứa cây con đệ quy, thì không có đường dẫn nào trong cây con có hai nhãn giống nhau (trừ gốc cây con). Cây con được phân nhánh chính xác với độ sâu giới hạn (không nhiều hơn số lượng thiết bị đầu cuối). Bạn có một tập hợp hữu hạn các cây con như vậy chỉ tạo ra một chuỗi hữu hạn ở rìa của chúng. Là hữu hạn về số lượng, có một phần trên cho chiều dài của rìa. Một sự tương phản, nếu một rìa vượt quá giới hạn, đó là một dấu hiệu chắc chắn rằng nó chứa một cây con đệ quy.

"Điều kiện bị thiếu" : "Điều kiện bị thiếu" mà đảm bảo rằng chuỗi đủ dài để có ít nhất một cây con đệ quy trong cây phân tích để bơm. $\mid s\mid \geq p$

Điều kiện thứ hai : bạn luôn có thể nhận được để bơm một cây con đệ quy không chi phối cũng không chứa một cây con đệ quy khác trong cây phân tích. Nếu có, chỉ cần lấy các cây con đệ quy khác. Vì cây phân tích là hữu hạn, điều này chấm dứt. Bạn kết thúc với các cây con (cho và cho ) không chứa các cây con đệ quy và phân tích chính xác ở trên đảm bảo sự tồn tại của một hướng trên. $vy$ $x$

Trong trường hợp ngữ pháp thông thường, bạn chỉ có những cây con không phân nhánh nhiều. Nó thực sự giống với trường hợp CF với một số chuỗi được thay thế bằng . $\epsilon$

Trong trường hợp CF, thường thuận tiện cho việc chứng minh bổ đề hoặc các biến thể của nó, cho rằng ngữ pháp là CNF (cũng phụ thuộc vào biến thể bổ đề)

Phần lớn các bằng chứng chính thức là trình bày toán học, không hiểu biết.

Đây là một bài tập thú vị.

— bé yêu
nguồn