Một ngôn ngữ hoàn chỉnh NP dày đặc ngụ ý P = NP

Chúng ta nói rằng ngôn ngữ là dày đặc , nếu có tồn tại một đa thức như vậy cho tất cảNói cách khác, đối với bất kỳ chiều dài cho có chỉ tồn tại đa thức nhiều từ có độ dài mà không phải là trong$J \subseteq \Sigma^{*}$| J c ∩ Σ n | ≤ p ( n ) n ∈ N . n n J $p$

Vấn đề tôi hiện đang nghiên cứu yêu cầu hiển thị như sau

Nếu tồn tại một ngôn ngữ -complete dày đặc thìP = N $NP$$P = NP$

Những gì văn bản đề xuất là xem xét việc giảm đa thức thành - và sau đó xây dựng một thuật toán cố gắng thỏa mãn công thức cho đồng thời tạo ra các phần tử trongS A T C N F J c$3$$SAT$$CNF$$J^c.$

Điều tôi đang tự hỏi là

Có bằng chứng trực tiếp hơn? Là khái niệm này được biết đến trong một thiết lập tổng quát hơn?

Đây là một vấn đề bài tập về nhà tuyệt vời về định lý của Mahaney.

Lưu ý rằng phần bổ sung của ngôn ngữ "dày đặc" là ngôn ngữ thưa thớt. Ngoài ra, nếu một ngôn ngữ là - hãy hoàn thành phần bổ sung của nó là .c o N $\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Nếu có một "dày đặc" ngôn ngữ -complete, có một thưa thớt ngôn ngữ -complete.c o N $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Định lý của Mahaney cho chúng ta biết rằng không có ngôn ngữ hoàn chỉnh thưa thớt trừ khi .P = N $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Chúng tôi có thể áp dụng bằng chứng để chỉ ra rằng không có ngôn ngữ hoàn chỉnh thưa thớt trừ khi tương đương với (kể từ được đóng dưới phần bổ sung).P = c o N P P = N P $\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Tóm lại, câu trả lời là không trừ khi . Lưu ý rằng nếu thì mọi ngôn ngữ không cần thiết là .P = N P N $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

ps: Bạn có thể muốn thử các cách sau và sau đó sử dụng định lý của Mahaney: có một tập hợp iff có một tập hợp thưa thớt . Tuy nhiên tôi nghi ngờ rằng một bằng chứng cho tuyên bố này sẽ dễ dàng hơn nhiều so với một bằng chứng cho định lý của Mahaney.c o N $\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Như đã đề cập ở trên theo định lý của Mahaney . Ngôn ngữ thưa thớt và dày đặc không thể là trừ khi .P = N $NP-Hard$$P=NP$

Dự thảo được đề cập có chứa bằng chứng đầy đủ.