Tại sao Máy Turing lặp lại cùng một cấu hình hai lần phải ở trong Vòng lặp vô hạn?

8

Tôi đã thấy tuyên bố sau đây và tôi hoàn toàn không hiểu lý do đằng sau nó:

Nếu một máy Turing lặp lại cùng một cấu hình hai lần, thì nó phải ở trong một vòng lặp vô hạn.

Tôi nghĩ rằng một có thể ở trạng thái , với băng ở bên trái 000 và bên phải 111. Giả sử nó di chuyển sang phải rồi sang trái, ở cùng trạng thái; không phải chúng ta trong cùng một cấu hình? $TM$ $q_1$

complexity-theory turing-machines

— Alan
nguồn

7

Vâng, chúng tôi đang ở trong cùng một cấu hình, và chúng tôi sẽ lặp đi lặp lại di chuyển sang phải rồi sang trái.

— chi

13

Điều này là do chức năng chuyển đổi của TM là xác định. Nếu cấu hình giống nhau, thì các đối số của cũng giống nhau, dẫn đến một vòng lặp vô hạn. Chính thức, điều này có thể được chứng minh như @ gnasher729 . $\delta$ $\delta$

Hãy xem xét ví dụ của bạn. Nếu của bạn di chuyển như sau, $TM$

(q_{1}, \dots 00 [0] 111 \dots) \overset{q_{1}, right}{\to} (q_{1}, \dots 000 [1] 11 \dots) \overset{q_{1}, left}{\to} (q_{1}, \dots 00 [0] 111 \dots)

$(q_1, \dots00[0]111\dots) \xrightarrow{q_1, \text{right}} (q_1, \dots000[1]11\dots) \xrightarrow{q_1, \text{left}} (q_1, \dots00[0]111\dots)$

sau đó bước cuối cùng bằng bước đầu tiên, có nghĩa là một vòng lặp vô hạn.

— nekketsuuu
nguồn

Có phải cả hai cách? Nếu một TM không lặp lại cùng một cấu hình hai lần, nó có nhất thiết phải dừng không?

— Avishay28

1

Số mẫu: TM chỉ lật một bit hiện tại và luôn di chuyển đúng và không có trạng thái cuối cùng. Nếu băng ban đầu là [0] 000 ..., thì nó hoạt động như 1 [0] 00 ..., 11 [0] 0 ..., 111 [0] ..., v.v.

— nekketsuuu

7

Nếu Máy Turing của bạn ở trạng thái X sau n bước và một lần nữa ở trạng thái X chính xác sau các bước n + m, thì nó sẽ lặp lại chính xác các hành động tương tự từ bước n + m mà nó đã thực hiện ở bước n và sau bước n + 2m nó sẽ ở trạng thái X một lần nữa, tương tự sau bước n + 3m, n + 4m, v.v. Vì vậy, bạn đang ở trong một vòng lặp vô hạn.

Ví dụ của bạn là trường hợp bạn đạt lại trạng thái tương tự sau hai bước, vì vậy m = 2.

— gnasher729
nguồn

4

_{Một phiên bản câu trả lời của @nekketsuu không có ký hiệu, mũi tên hoặc tiếng Hy Lạp:}

Cấu hình của máy xác định những gì nó làm tiếp theo (và theo quy nạp, xác định toàn bộ tương lai của nó). Do đó, nếu điều xảy ra sau một cấu hình nhất định là bạn tiếp cận lại nó với một số bước nữa, thì điều này sẽ tiếp tục xảy ra lặp đi lặp lại không có hồi kết.

Điều này đúng với bất kỳ máy xác định nào : Máy tiện, Máy tự động hữu hạn (Xác định), Máy tự động ngăn xếp (Deteriministic) Stack Automaton, v.v.

— einpoklum
nguồn