NAE-HORN-SAT ở P hay NP-hard?

Tôi muốn biết sự phức tạp của vấn đề NAE-HORN-SAT (không phải tất cả đều bằng nhau). Chúng tôi biết rằng HORNSAT là , nhưng mặt khác, NAE-SAT là . Tôi muốn biết những gì chúng ta có thể nói về vấn đề NAE-HORN-SAT. Hãy để tôi xác định vấn đề chính thức:$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Đưa ra: Một công thức Boolean được trao cho chúng tôi trong CNF nơi mỗi mệnh đề có nhiều nhất một nghĩa đen (thuộc tính HORN). Câu hỏi: Có bất kỳ sự gán nào cho các biến đầu vào của sao cho bất kỳ mệnh đề nào có ít nhất một Sai và ít nhất một chữ đúng (NAE-property) không?$\phi$
$\phi$

Lưu ý:

• Nghĩa đen: bất kỳ biến trực tiếp,
• Phủ định nghĩa đen: phủ định của bất kỳ biến.
• Nghĩa đen: nghĩa đen được gán cho Boolean Đúng theo bất kỳ nhiệm vụ nào,
• Sai theo nghĩa đen: nghĩa đen được gán cho Boolean Sai bằng bất kỳ phép gán nào.

Theo định lý phân đôi của Schaefer , vấn đề này phải nằm trong hoặc . Tôi chỉ có thể tìm thấy một mức giảm đa thức từ HORNSAT cho vấn đề này, điều này chứng tỏ thực sự không có gì. Có một thuật toán thời gian đa thức để giải quyết vấn đề này?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Hoặc, có cách nào để chứng minh vấn đề này là -hard không? Bất kỳ suy nghĩ về điều này?$\mathsf{NP}$

Vấn đề của bạn, NAE-HORN-SAT là $NP$-hoàn thành. NAE-SAT đơn điệu là$NP$- Hoàn thành và đó là trường hợp đặc biệt của NAE-HORN-SAT của bạn. Các chữ trong công thức SAT đơn điệu đều là dương hoặc là âm.

Lấy bất kỳ trường hợp nào của bài toán NAE-SAT đơn điệu (tất cả nghĩa đen của nó là âm) thì công thức này là một ví dụ của bài toán NAE-HORN-SAT.

Định lý phân đôi của Schaefer thực sự không nhất thiết phải áp dụng trong trường hợp này, vì độ rộng của các mệnh đề trong công thức NAE-HORN-SAT không bị giới hạn. Định lý Schaefer cung cấp cho bạn là một thuật toán quyết định, cho mỗi$k$, cho dù giới hạn của NAE-HORN-SAT đối với các mệnh đề về chiều rộng $k$ (hoặc lên đến $k$) là trong P hoặc NP-hoàn thành. Thuật toán xuất hiện trong trang Wikipedia và bạn có thể tra cứu một số tài liệu tham khảo (ví dụ khảo sát gần đây của Chen) để có thêm giải thích.

Trong trường hợp của bạn, có hai khả năng. Khả năng đầu tiên là đối với một số$k$, NAE-HORN-SAT là NP-hoàn chỉnh cho các mệnh đề về chiều rộng $k$. Khả năng thứ hai là cho tất cả$k$, NAE-HORN-SAT nằm trong P. Trong trường hợp sau, bạn sẽ phải xem thuật toán giải quyết NAE-HORN-SAT cho mỗi giới hạn $k$(có một thuật toán cho mỗi sáu trường hợp dễ dàng được liệt kê trong định lý và bạn sẽ kết thúc với một trong số chúng), và kiểm tra xem nó có khái quát đến chiều rộng không giới hạn hay không. Nếu không, hãy quay lại với chúng tôi và đặt lại câu hỏi. Chỉnh sửa: chúng tôi không mong đợi điều này xảy ra, xem câu hỏi này .

Lưu ý rằng nếu độ rộng mệnh đề không bị ràng buộc, thì vấn đề CSP chung không được đảm bảo ở NP (hoặc thậm chí có thể tính toán được), mặc dù trong trường hợp của bạn là như vậy.