Có một thuật toán để kiểm tra nếu một chuỗi là một catenation của palindromes?

Có một thuật toán thời gian tuyến tính để kiểm tra xem một chuỗi các ký tự có phải là một chuỗi các palindromes không? Điều duy nhất nảy ra trong đầu tôi là giải pháp ngây thơ:

1. k = 1
2. Split string into k substrings (all possibilities) and check
3. k++
4. repeat

Lưu ý: câu trả lời là có nếu tầm thường 1 chuỗi được xác định là palindromes. Hãy giả sử rằng đây không phải là trường hợp.

Giả sử bạn muốn phân biệt các palindromes, đây được gọi là vấn đề PALSTAR và có một thuật toán thời gian tuyến tính của Zvi Galil và Joel Seiferas. Thuật toán nhận dạng trực tuyến theo thời gian tuyến tính cho `` Palstar ' .

Bạn có thể tìm thấy lời giải thích về thuật toán trong cuốn sách ở đây: Thuật toán văn bản (xem trang được liên kết và các trang trước).

Nếu bạn ổn với thuật toán thời gian bậc hai, lập trình động thẳng tiến dường như hoạt động.

$s[1,\dots n]$$s[1,\dots j]$

$s[i, \dots j]$$O(n^2)$$\Theta(n)$$O(n)$

$s[1, \dots j+1]$$1 \le i \le j-1$$s[1,\dots i]$$s[i+1,\dots, j+1]$$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$

$O(n)$$s[i+1,\dots j+1]$$i$$j-1$$1$

Nếu cho phép chồng lấp, nó có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính (theo kích thước của chuỗi đầu vào).

Một số định nghĩa

Hãy xác định khái niệm về palindrom tối đa :

Một palindrom tối đa bán kính k của một chuỗi S là một chuỗi con S 'sao cho

• bắt đầu từ trung tâm, S 'đọc cùng một ký tự k theo cả hai hướng
• nhưng không cho ký tự k + 1
• k> 1 (vì vậy một ký tự không phải là một bảng màu)

ví dụ: if S = banana, thì S' = ananalà một palindrom tối đa của bán kính 2.

Một palindrom tối đa là một palindrom tối đa bán kính k cho một số k.

Ví dụ, nếu S = banana, "ana", "anana", tất cả đều palindromes tối đa của nó.

Sử dụng palindromes tối đa

Bây giờ, nếu chúng ta có thể định vị tất cả các palindrome tối đa của một chuỗi , sẽ rất đơn giản để kiểm tra xem toàn bộ chuỗi có phải là một chuỗi của palindromes hay không.

Đi S = abbaccazayaz. Palindromes tối đa của nó là:

• abba, chính giữa vị trí 2 và 3, bán kính = 2
• acca, chính giữa vị trí 5 và 6, bán kính = 2
• zayaz, tập trung ở vị trí 10, bán kính = 2

vì vậy "abba" trải dài trên [1..4], "acca" kéo dài qua [4..7], "zayaz" kéo dài qua [8..12]. Vì sự kết hợp của ba palindromes này (cho phép chồng chéo?) Trải dài trên toàn bộ chuỗi, theo sau đó "abbaccazayaz" là nối của palindromes.

Tính toán palindromes tối đa trong thời gian tuyến tính

Bây giờ, hóa ra chúng ta có thể định vị tất cả các palindrome tối đa của một chuỗi S trong thời gian tuyến tính !*

Ý tưởng là sử dụng cây hậu tố cho S được trang bị các truy vấn tổ tiên chung thấp nhất thời gian không đổi .

Vì vậy, chúng ta có thể kiểm tra xem một chuỗi S có độ dài m có phải là một chuỗi các palindromes trong thời gian O (n) không.

* Gusfield, Dan (1997), "9.2 Tìm tất cả các palindromes tối đa trong thời gian tuyến tính", Thuật toán trên Chuỗi, Cây và Chuỗi

Giả sử Palindrome [] [] là một mảng và Palindrome (i, j) là một hàm kiểm tra, liệu chuỗi con từ i đến j có phải là palindrom và trả về 1 nếu là palindrom hoặc trả về vô cực nếu không phải là palindrom và bạn đang tìm số nhỏ nhất của các phân vùng, tạo nó từ dưới lên:

$O(n^2)$$O(n)$$O(n^3)$$O(n^2)$