Số mũ đôi so với số mũ đơn

Dưới đây là bốn nguyên lý tôi không thể hòa giải:

Các thuật toán thời gian theo hàm mũ đôi chạy trong thời gian với hằng số $O(2^{2^{n^k}})$ $k \in \mathbb{N}$
Các thuật toán thời gian theo hàm mũ chạy trong với hằng số $O(2^{n^k})$ $k \in \mathbb{N}$
Các ràng buộc trước phát triển nhanh hơn so với sau; tức là, tồn tại các thuật toán chạy theo thời gian theo cấp số nhân gấp đôi nhưng không theo thời gian theo cấp số nhân
Áp dụng cho giới hạn lũy thừa kép, chúng ta có , nằm trong giới hạn hàm mũ đã nêu trước đó $a^{b^c} = a^{bc}$ $O(2^{2^{n^k}}) = O(2^{2^{nk}}) = O(2^{2nk})$

Tôi cảm thấy tôi thiếu một số sự tinh tế liên quan đến định nghĩa của thuật toán theo thời gian hàm mũ khi chạy trong thay vì , nhưng tôi không chắc chính xác sự tinh tế nằm ở đâu. $O(2^{\mathrm{poly}(n)})$ $O(2^{n})$

asymptotics discrete-mathematics notation

— xấu
nguồn

Tôi đã chỉnh sửa các thẻ và gạch vì thực sự, câu hỏi này không liên quan gì đến lý thuyết phức tạp: đó là về ký hiệu toán học và hành vi tiệm cận của các hàm toán học.

— David Richerby

Câu trả lời:

Vấn đề đi xuống thuật ngữ mơ hồ.

, nhưng . Nói cách khác, số mũ không liên kết. $(a^b)^c = a^{bc}$ $a^{(b^c)} \neq a^{bc}$

Thông thường, các hàm mũ được lồng mà không có dấu ngoặc đơn được nhóm theo cách thứ hai này, vì nó hữu ích hơn. Vì vậy, . Nếu chúng ta muốn nói về , chúng ta chỉ có thể viết , vì vậy chúng ta bảo lưu ký hiệu số mũ đôi cho trường hợp khác. $2^{2^n} = 2^{(2^n)} \neq 2^{2n}$ $(2^2)^n$ $2^{2n}$

— Draconis
nguồn

Quy ước đó là duy nhất hợp lý. Như bạn mô tả việc lựa chọn các cách khác của nhóm sẽ là vô ích vì chúng ta đã có thể bày tỏ rằng giá trị / chức năng sử dụng

thay vì một fancy "đôi mũ".

a^{b \cdot c}

$a^{b\cdot c}$

— Bakuriu

@Bakuriu Oh, thực sự, mặc dù điều quan trọng cần lưu ý rằng đó chỉ là một quy ước. (Ngoài ra còn có thể là ước luôn luôn sử dụng dấu ngoặc đơn, đó là những gì LaTeX hiện: nó từ chối đoán làm thế nào để nhóm a^b^c, và ném một lỗi thay thế.)

— Draconis

a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}

$a^{b^c}=a^{(b^c)}$

@DavidR Richby Chắc chắn, tất cả các ký hiệu là thông thường! Nhưng điều đó không có nghĩa là nó không đáng chú ý. Đó là một lựa chọn có chủ ý của các nhà toán học để sử dụng ký hiệu đó: và đó là một lựa chọn tốt, bởi vì nó giúp loại bỏ sự mơ hồ và hữu ích hơn so với giải pháp thay thế. Nhưng nó vẫn là một lựa chọn và không có gì ngăn bạn xác định nó một cách khác biệt (bên cạnh những độc giả khó hiểu không có lợi ích thực sự).

— Draconis

@Bakuriu Tôi sẽ không đi xa để nói rằng đó là quy ước hợp lý duy nhất , bởi vì dường như tôi rất hợp lý khi cho rằng tất cả các hoạt động được đánh giá từ trái sang phải, trừ khi có dấu ngoặc đơn. Đó là những gì chúng tôi làm với phép cộng và phép trừ và những gì trẻ học ở trường phổ thông với "PEMDAS". Thực tế là lũy thừa không tuân theo quy ước đã làm tôi vấp ngã trong quá khứ và chỉ về những người đầu tiên biết về nó.

— 6005

$a^{(b^c)}$ $(a^b)^c$ $2^{2^k}$ $2^{(2^k)}$ $(2^2)^k$

— DW
nguồn