Tìm một đường thẳng để chia hai đa giác lồi cho diện tích bằng nhau

Giả sử, chúng ta có hai đa giác không chồng chéo lồi và . Làm thế nào chúng ta có thể vẽ một đường thẳng chia thành hai phần có diện tích bằng nhau và cũng chia thành hai phần diện tích bằng nhau? Ngoài ra, chúng ta có thể làm điều này trong độ phức tạp hoặc tốt hơn không? ( ) $A$ $B$ $A$ $B$ $O(n^2)$ $n = |A| + |B|$

computational-geometry

— John Reese
nguồn

Những cách tiếp cận bạn đã xem xét cho đến nay?

— koverman47

Bạn đã thử gì? Bạn bị kẹt ở đâu? Chúng tôi rất vui khi được giúp bạn hiểu các khái niệm nhưng chỉ cần giải các bài tập cho bạn là không thể đạt được điều đó. Bạn có thể thấy trang này hữu ích trong việc cải thiện câu hỏi của bạn.

— DW

Tôi đã bị mắc kẹt trong vấn đề này khi tôi đang cố gắng giải quyết điều này . Đây không giống như bài tập về nhà hoặc bất cứ điều gì. Ngoài ra, tôi không có bất kỳ ý tưởng nào cho đến bây giờ về việc giải quyết nó.

— John Reese

Điều này được gọi là định lý Ham-Sandwich :

Cho hai đối tượng có thể đo được trong không gian Euclide chiều, có thể chia mỗi đối tượng thành một nửa bằng một đường thẳng. $2$

Lưu ý: Không cần lồi. Và có thể được thay thế bằng bằng "line" được thay thế bằng một siêu phẳng hai chiều . $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^d$ $(d{-}1)$

^{(Hình ảnh từ sự tò mò.com .)}

Xem liên kết Wikipedia cho các phiên bản tính toán.

Đã thêm để đáp ứng yêu cầu của @ WillardZhan:

Ivan Stojmenovíc. Cắt xén và cắt ham-sandwich của đa giác lồi và đa diện. Thông tin Quá trình. Lett. 38 (1): 15-21. 1991. ( Tải xuống CiteSeer PDF .)
Tóm tắt . Chúng tôi trình bày một thuật toán tuần tự thời gian tuyến tính để tìm một đường thẳng chia đôi hai đa giác lồi lõm nhất định (nghĩa là cắt cả hai thành hai phần có diện tích bằng nhau).

Abbott, Timothy G., Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Daniel M. Kane, Stefan Langerman, Jelani Nelson và Vincent Yeung. "Ham-Sandwich cắt giảm đa giác lồi trong mặt phẳng." Trong CCCG , trang 61-64. 2005. ( Tải xuống bản PDF .)

— Joseph O'Rourke
nguồn

Bánh sandwich ham đó là một nhà khoa học thành công hơn hầu hết mọi người

— koverman47

Tôi không chắc làm thế nào phiên bản tập hợp điểm của vấn đề này được mô tả trong liên kết wikipedia giải quyết câu hỏi của OP về đa giác. Xin hãy giải thích nếu bạn muốn.

— Willard Zhan

Tôi đã thêm một câu vào Wikipedia trích dẫn bài báo Stojmenovíc. Có lẽ sau này tôi sẽ mở rộng mục đó hơn nữa.

— Joseph O'Rourke