Thiết lập độc lập trên đồ thị hình tam giác không có hình khối

Tôi biết rằng thiết lập độc lập tối đa trên các đồ thị không có hình tam giác khối là NP-hoàn chỉnh.

Nó vẫn hoàn thành NP trong trường hợp chúng tôi yêu cầu bộ độc lập có kích thước chính xác ?$|V|/2$

Về cơ bản, ví dụ CÓ của bài toán đặt độc lập trên bài toán đồ thị không có hình tam giác khối phải có chính xác các nút . Ví dụ NO có tập kích thước độc lập nhỏ hơn .$|V|/2$$|V|/2$

Hãy bắt đầu bằng cách chứng minh rằng tập độc lập tối đa có kích thước tối đa . Hãy để là một bộ độc lập. Đối với mỗi đỉnh , chúng ta hãy là số các nước láng giềng trong . Nếu , sau đó chúng ta biết rằng . Vì biểu đồ là hình khối,. Vì , số lượng đỉnh sao cho ít nhất là. Do đó .$|V|/2$$I$$v$$\alpha(v)$$I$$\alpha(v) \geq 1$$v \notin I$$\sum_v \alpha(v) = 3|I|$$\alpha(v) \leq 3$$\alpha(v) \geq 1$$|I|$$|I| \leq |V|/2$

Khi nào chúng ta có thể có sự bình đẳng? Chúng ta phải có , vì vậy đối với mỗi đỉnh không trong , tất cả các nước láng giềng phải ở trong . Các ngược lại cũng đúng - cho mỗi đỉnh trong , tất cả các nước láng giềng đang không ở trong . Nói cách khác, đồ thị phải là lưỡng cực. Điều này có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức.Tôi tôi tôi $\alpha(v) \in \{0,3\}$$I$$I$$I$$I$